Хорошо проводящую металлическую шайбу с внешним радиусом 7г и внутренним радиусом 1 закрепили на хорошо смазанной оси. Затем включили внешнее магнитное поле, вектор индукции В которого перпендикулярен плоскости шайбы, и подключили к внешнему и внутреннему ободам шайбы с помощью подвижных щёточных контактов резистор сопротивлением R. На шайбу намотали длинную невесомую и нерастяжимую нить и прикрепили к её свободному концу груз массой т. Далее груз отпускают. Найдите установив-шуюся угловую скорость вращения шайбы. Нить не проскальзывает по внешнему ободу шайбы и не слетает с него.
Для решения данной задачи воспользуемся законами электромагнитной индукции и динамикой вращения.
Эмкбедность: В результате магнитной индукции в шайбе будет возникать электродвижущая сила (ЭДС). ЭДС можно вычислить по формуле:
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} \]
где \(\Phi\) — магнитный поток через шайбу.
Магнитный поток можно выразить как:
\[ \Phi = B \cdot S \]
где \(S\) — площадь шайбы. Площадь шайбы можно найти по формуле:
\[ S = \pi(R^2 - r^2) = \pi(7^2 - 1^2) = \pi(49 - 1) = 48\pi \]
Следовательно, магнитный поток:
\[ \Phi = B \cdot 48\pi \]
Тогда ЭДС будет равняться:
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -B \cdot \frac{d(48\pi)}{dt} = 0 \quad (\text{при статическом поле}) \]
Но при вращении шайбы ЭДС будет изменяться, так как меняется длина проводящего пути на внешнем ободе шайбы из-за вращения:
\[ \mathcal{E} = B \cdot v \]
где \(v = R\omega\) — назначенная скорость точки на внешнем ободе шайбы. Таким образом, ЭДС будет равняться:
\[ \mathcal{E} = B \cdot (7\omega) \]
Ток в цепи: Мы имеем цепь, состоящую из резистора \(R\) и нашей шайбы. Ток этой цепи \(I\) можно найти по закону Ома:
\[ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B \cdot 7\omega}{R} \]
Моменты сил: На шайбу действует момент, создаваемый током в проводнике:
\[ M = I \cdot L \cdot B \]
где \(L\) — длина провода (для шайбы длина круга равна \(2\pi R\)). Подставляя выражение для тока:
\[ M = \frac{B \cdot 7\omega}{R} \cdot (2\pi \cdot 7) \cdot B \]
То есть
\[ M = \frac{B^2 \cdot 14\pi R \cdot 7\omega}{R} = 98\pi B^2 \cdot \omega \]
Уравнение движения: Комплексный момент инерции шайбы можно рассчитать как:
\[ I_{sh} = \frac{1}{2} m(R^2 + r^2) = \frac{1}{2} m(7^2 + 1^2) = \frac{1}{2} m(49 + 1) = 25m \]
В итоге мы можем записать уравнение, связывающее момент и угловое ускорение \(\alpha\):
\[ M = I_{sh} \cdot \alpha \]
Правило ротора: Учитывая, что \(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\), и введя груз, дающий момент, мы можем установить равновесие:
\[ 98\pi B^2 \cdot \omega = 25m \cdot \alpha \]
В конечном итоге угловая скорость определяется от момента, создаваемого грузом:
\[ m \cdot g = I_{sh} \cdot \frac{d\omega}{dt} \]
Однако для установки равновесия давайте рассмотрим указанные выше компрометирующие моменты.
В итоге, мы можем разрешить эту систему уравнений, чтобы найти угловую скорость \(\omega\), при условии что механику и индукцию учитываем одинаково.
Следовательно, необходимо знать конкретные значения \(B\), \(R\), и \(m\) для получения конечного результата.
