Прямая y=2x+b касается окружности x²+y²=20 в точке с отрицательной абсциссой. Найди координаты точки касания. Запиши в ответе найденные координаты в формате (x;y) без пробелов.
Чтобы найти координаты точки касания прямой \( y = 2x + b \) с окружностью \( x^2 + y^2 = 20 \), необходимо использовать информацию о том, что прямая касается окружности в точке с отрицательной абсциссой.
Подставим уравнение прямой в уравнение окружности. \[ x^2 + (2x + b)^2 = 20 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (4x^2 + 4bx + b^2) = 20 \] Сложим подобные члены: \[ 5x^2 + 4bx + (b^2 - 20) = 0 \]
Для того чтобы прямая касалась окружности, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. \[ D = (4b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (b^2 - 20) = 0 \] Упростим выражение: \[ 16b^2 - 20(b^2 - 20) = 0 \] \[ 16b^2 - 20b^2 + 400 = 0 \] \[ -4b^2 + 400 = 0 \] \[ 4b^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad b = 10 \text{ или } b = -10 \]
Подставляем значение \( b \) в уравнение прямой. Рассмотрим оба случая:
- Если \( b = 10 \), то прямая: \( y = 2x + 10 \)
- Если \( b = -10 \), то прямая: \( y = 2x - 10 \)
Найдём точки касания для обоих случаев, подставив \( y \) обратно в уравнение окружности. Начнём с \( b = -10 \): \[ x^2 + (2x - 10)^2 = 20 \] \[ x^2 + (4x^2 - 40x + 100) = 20 \] \[ 5x^2 - 40x + 80 = 0 \] Упрощаем: \[ x^2 - 8x + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] Подставляем \( x = 4 \) в уравнение прямой: \[ y = 2(4) - 10 = 8 - 10 = -2 \] Точка касания: \( (4; -2) \)
Теперь рассмотрим случай \( b = 10 \): \[ x^2 + (2x + 10)^2 = 20 \] \[ x^2 + (4x^2 + 40x + 100) = 20 \] \[ 5x^2 + 40x + 80 = 0 \] Упрощаем: \[ x^2 + 8x + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \] Подставляем \( x = -4 \) в уравнение прямой: \[ y = 2(-4) + 10 = -8 + 10 = 2 \] Точка касания: \( (-4; 2) \)
В соответствии с условием, нам нужна точка с отрицательной абсциссой. Таким образом, координаты точки касания: \[ (-4;2) \] Ответ: \((-4;2)\)
