В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45° , ВС=5корень из 6 . найдите длину стороны АС
Для решения задачи используем закон синусов, который гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех трех сторон.
В нашем треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, а сторона BC равна \(5\sqrt{6}\).
Сначала найдем угол C:
\[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75° \]
Теперь у нас есть все углы треугольника: \(\angle A = 60°\), \(\angle B = 45°\), \(\angle C = 75°\).
По закону синусов мы можем записать:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 45°} \]
Сначала найдем значение \(\sin\) углов:
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Теперь подставим их в уравнение:
\[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Упростим первое выражение:
\[ \frac{5\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2} \]
Теперь у нас есть:
\[ 10\sqrt{2} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10 \]
Таким образом, длина стороны \(AC\) равна 10.
