В корзине 7 спелых и 8 неспелых апельсинов. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу 6-ти апельсинов 4 неспелых; хотя бы один неспелый; более половины спелых?

Question 1

Задача Задача №2280652

А

Аноним

19 ноября 2024 06:45 · публичный вопрос

А

Аноним 19 ноября 2024 06:45

В корзине 7 спелых и 8 неспелых апельсинов. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу 6-ти апельсинов 4 неспелых; хотя бы один неспелый; более половины спелых?

Answer

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой и вероятностными расчетами.

1. Вероятность того, что среди выбранных наудачу 6-ти апельсинов 4 неспелых:

У нас в корзине 7 спелых и 8 неспелых апельсинов, всего 15 апельсинов. Мы хотим выбрать 6 апельсинов, из которых 4 будут неспелыми.

Число способов выбрать 4 неспелых апельсина из 8: \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \]

Число способов выбрать 2 спелых апельсина из 7: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

Таким образом, общее количество способов выбрать 4 неспелых и 2 спелых: \[ C(8, 4) \times C(7, 2) = 70 \times 21 = 1470 \]

Теперь общее количество способов выбрать 6 апельсинов из 15: \[ C(15, 6) = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005 \]

Вероятность того, что среди выбранных будет 4 неспелых: \[ P(4 \text{ неспелых}) = \frac{1470}{5005} \approx 0.293 \]

2. Вероятность того, что хотя бы один неспелый:

Сначала найдем вероятность того, что среди выбранных 6-ти апельсинов все 6 будут спелыми и вычтем это значение из 1.

Число способов выбрать 6 спелых апельсинов из 7: \[ C(7, 6) = 7 \]

Вероятность выбрать 6 спелых апельсинов: \[ P(6 \text{ спелых}) = \frac{7}{5005} \approx 0.0014 \]

Следовательно, вероятность того, что хотя бы один апельсин будет неспелым: \[ P(\text{хотя бы 1 неспелый}) = 1 - P(6 \text{ спелых}) \approx 1 - 0.0014 \approx 0.9986 \]

3. Вероятность того, что более половины спелых (то есть 4 или более спелых):

Это означает, что мы можем иметь 4, 5 или 6 спелых апельсинов.

Число способов выбрать 4 спелых и 2 неспелых: \[ C(7, 4) \times C(8, 2) = 35 \times 28 = 980 \]
Число способов выбрать 5 спелых и 1 неспелый: \[ C(7, 5) \times C(8, 1) = 21 \times 8 = 168 \]
Число способов выбрать 6 спелых и 0 неспелых: \[ C(7, 6) \times C(8, 0) = 7 \times 1 = 7 \]

Теперь складываем все возможные варианты: \[ 980 + 168 + 7 = 1155 \]

Вероятность того, что более половины спелых: \[ P(более половины спелых) = \frac{1155}{5005} \approx 0.231 \]

Таким образом, мы получили ответы на все три части вопроса! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно прояснить что-то ещё, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

В корзине 7 спелых и 8 неспелых апельсинов. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу 6-ти апельсинов 4 неспелых; хотя бы один неспелый; более половины спелых?

Answer

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой и вероятностными расчетами. **1. Вероятность того, что среди выбранных наудачу 6-ти апельсинов 4 неспелых:** У нас в корзине 7 спелых и 8 неспелых апельсинов, всего 15 апельсинов. Мы хотим выбрать 6 апельсинов, из которых 4 будут неспелыми. Число способов выбрать 4 неспелых апельсина из 8: \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \] Число способов выбрать 2 спелых апельсина из 7: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] Таким образом, общее количество способов выбрать 4 неспелых и 2 спелых: \[ C(8, 4) \times C(7, 2) = 70 \times 21 = 1470 \] Теперь общее количество способов выбрать 6 апельсинов из 15: \[ C(15, 6) = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005 \] Вероятность того, что среди выбранных будет 4 неспелых: \[ P(4 \text{ неспелых}) = \frac{1470}{5005} \approx 0.293 \] **2. Вероятность того, что хотя бы один неспелый:** Сначала найдем вероятность того, что среди выбранных 6-ти апельсинов все 6 будут спелыми и вычтем это значение из 1. Число способов выбрать 6 спелых апельсинов из 7: \[ C(7, 6) = 7 \] Вероятность выбрать 6 спелых апельсинов: \[ P(6 \text{ спелых}) = \frac{7}{5005} \approx 0.0014 \] Следовательно, вероятность того, что хотя бы один апельсин будет неспелым: \[ P(\text{хотя бы 1 неспелый}) = 1 - P(6 \text{ спелых}) \approx 1 - 0.0014 \approx 0.9986 \] **3. Вероятность того, что более половины спелых (то есть 4 или более спелых):** Это означает, что мы можем иметь 4, 5 или 6 спелых апельсинов. - **Число способов выбрать 4 спелых и 2 неспелых:** \[ C(7, 4) \times C(8, 2) = 35 \times 28 = 980 \] - **Число способов выбрать 5 спелых и 1 неспелый:** \[ C(7, 5) \times C(8, 1) = 21 \times 8 = 168 \] - **Число способов выбрать 6 спелых и 0 неспелых:** \[ C(7, 6) \times C(8, 0) = 7 \times 1 = 7 \] Теперь складываем все возможные варианты: \[ 980 + 168 + 7 = 1155 \] Вероятность того, что более половины спелых: \[ P(более половины спелых) = \frac{1155}{5005} \approx 0.231 \] Таким образом, мы получили ответы на все три части вопроса! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно прояснить что-то ещё, не стесняйтесь спрашивать!