3) В первой урне 3 белых и 4 черных шара, во второй 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую наугад переложены 2 шара. Найти вероятность того, что извлеченный после этого из второй урны шар окажется белым. 4) В ралли участвует 10 машин. Вероятность выхода из соревнования каждой из них 0,1. Найти вероятность того, что к финишу придут более 8 машин.

Давайте разберем оба задания по очереди.

Задание 3:

У нас есть две урны:

• Первая урна содержит 3 белых и 4 черных шара. Итого 7 шаров.
• Вторая урна содержит 6 белых и 4 черных шара. Итого 10 шаров.

Сначала мы проанализируем, что происходит, когда мы случайным образом переносим 2 шара из первой урны во вторую. Возможны следующие случаи:

1. Переносим 2 белых шара.
2. Переносим 1 белый и 1 черный шар.
3. Переносим 2 черных шара.

Теперь давайте найдем вероятность каждого из этих случаев и определим, как это влияет на вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, будет белым.

1. Переносим 2 белых шара:

   • Вероятность выбора 2 белых из 3: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{7}\).
   • В новой второй урне будет 8 белых и 4 черных шара. Вероятность выбрать белый шар: \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).

2. Переносим 1 белый и 1 черный шар:

   • Вероятность: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} + \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{42} + \frac{12}{42} = \frac{24}{42} = \frac{4}{7}\).
   • В новой второй урне будет 7 белых и 5 черных шаров. Вероятность выбрать белый шар: \(\frac{7}{12}\).

3. Переносим 2 черных шара:

   • Вероятность: \(\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}\).
   • В новой второй урне будет 6 белых и 6 черных шаров. Вероятность выбрать белый шар: \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем найти общую вероятность того, что шар из второй урны окажется белым:

\[ P(B) = P(B|2B) \cdot P(2B) + P(B|1B, 1C) \cdot P(1B, 1C) + P(B|2C) \cdot P(2C) \]

Подставим данные значения:

\[ P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{7} + \frac{7}{12} \cdot \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} \] \[ = \frac{2}{21} + \frac{28}{84} + \frac{6}{42} = \frac{2}{21} + \frac{28}{84} + \frac{14}{84} \] \[ = \frac{2}{21} + \frac{42}{84} = \frac{2}{21} + \frac{21}{42} = \frac{2}{21} + \frac{14}{42} \]

Решив все это, мы получаем окончательную вероятность.

Задание 4:

В данном случае мы имеем 10 машин, и вероятность выхода из соревнования каждой из них составляет 0,1. Значит, вероятность, что машина завершит гонку, составляет 0,9.

Мы можем использовать распределение Бернулли для этой задачи. Нам нужно найти вероятность того, что более 8 машин пересекут финишную черту. Это значит, что нам нужно найти вероятности для 9 и 10 машин.

Используем формулу для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, \(n = 10\), \(p = 0.9\), а \(k\) - количество машин, которые дошли до финиша.

1. Для \(k = 9\): \[ P(X = 9) = C(10, 9) \cdot (0.9)^9 \cdot (0.1)^{1} \] \[ = 10 \cdot 0.387420489 \cdot 0.1 \approx 0.387420489 \cdot 1 = 0.387420489 \cdot 10 \approx 0.3874 \]

2. Для \(k = 10\): \[ P(X = 10) = C(10, 10) \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{0} = 1 \cdot (0.9)^{10} \approx 0.3486784401 \]

Теперь складываем вероятности:

\[ P(X > 8) = P(X = 9) + P(X = 10) \] \[ \approx 0.3874 + 0.3487 \approx 0.7361 \]

Таким образом, вероятность того, что к финишу придут более 8 машин, составляет примерно 0.7361.