найти наибольшее и наименьшее значение функции у= sin x на отрезке [ 0; 2п/3]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \sin x \) на отрезке \( [0; \frac{2\pi}{3}] \), давайте сначала вспомним, что синус — это периодическая функция, достигающая своих экстремумов в пределах одного полного периода от 0 до \( 2\pi \).
Исследуем значения функции на границах отрезка:
- Для \( x = 0 \): \[ \sin(0) = 0 \]
- Для \( x = \frac{2\pi}{3} \): \[ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Ищем критические точки на отрезке: Для нахождения критических точек, найдем производную функции \( y = \sin x \): \[ y' = \cos x \] Установим производную равной нулю: \[ \cos x = 0 \] Это уравнение имеет решение в пределах отрезка: \( x = \frac{\pi}{2} \).
Находим значение функции в этой точке:
- Для \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]
Сравниваем все найденные значения:
- \( \sin(0) = 0 \)
- \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
- \( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)
Таким образом, на отрезке \( [0; \frac{2\pi}{3}] \) максимальное значение функции \( y = \sin x \) равно \( 1 \) в точке \( x = \frac{\pi}{2} \), а минимальное значение равно \( 0 \) в точке \( x = 0 \).
Итог:
- Наибольшее значение: \( 1 \)
- Наименьшее значение: \( 0 \)
