Второй член арифметической прогрессии в 3 раза больше девятого члена. Сумма первых двадцати четырех членов прогрессии. 2) Третий член арифметической прогрессии в 4 раза больше ее…

Чтобы решить обе задачи, нам нужно вспомнить, как выглядят члены арифметической прогрессии (АП). Члены АП можно описать формулой:

\( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \)

где \( a_n \) — n-ый член прогрессии, \( a_1 \) — первый член, \( d \) — разность прогрессии.

Задача 1

Второй член в 3 раза больше девятого:

1. Запишем члены:
   • Второй член: \( a_2 = a_1 + d \)
   • Девятый член: \( a_9 = a_1 + 8d \)

По условию, имеем:

\[ a_1 + d = 3(a_1 + 8d) \]

Решим это уравнение:

\[ a_1 + d = 3a_1 + 24d \] \[ d - 24d = 3a_1 - a_1 \] \[ -23d = 2a_1 \] \[ a_1 = -\frac{23}{2}d \]

Теперь найдем сумму первых 24 членов прогрессии. Сумма первых n членов АП вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d) \]

Подставим \( n = 24 \):

\[ S_{24} = \frac{24}{2} (2a_1 + 23d) = 12(2a_1 + 23d) \]

Теперь подставим выражение для \( a_1 \):

\[ S_{24} = 12(2(-\frac{23}{2}d) + 23d) = 12(-23d + 23d) = 12 \cdot 0 = 0 \]

Ответ для задачи 1:

Сумма первых 24 членов равна 0.

Задача 2

Третий член в 4 раза больше двенадцатого:

1. Запишем члены:
   • Третий член: \( a_3 = a_1 + 2d \)
   • Двенадцатый член: \( a_{12} = a_1 + 11d \)

По условию,

\[ a_1 + 2d = 4(a_1 + 11d) \]

Решим это уравнение:

\[ a_1 + 2d = 4a_1 + 44d \] \[ 2d - 44d = 4a_1 - a_1 \] \[ -42d = 3a_1 \] \[ a_1 = -\frac{42}{3}d = -14d \]

Теперь найдем сумму первых 29 членов прогрессии:

\[ S_{29} = \frac{29}{2} (2a_1 + 28d) \]

Подставляем:

\[ S_{29} = \frac{29}{2} (2(-14d) + 28d) = \frac{29}{2} (-28d + 28d) = \frac{29}{2} \cdot 0 = 0 \]

Ответ для задачи 2:

Сумма первых 29 членов равна 0.