найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х³-6х²+1 на числовой отрезке [-1;2]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^3 - 6x^2 + 1 \) на интервале \([-1; 2]\), необходимо выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдите производную функции
Сначала вычислим первую производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 1) = 3x^2 - 12x \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 3x^2 - 12x = 0 \]
Factor the equation:
\[ 3x(x - 4) = 0 \]
Это дает нам корни:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 \]
Однако, \( x = 4 \) не входит в наш интервал \([-1; 2]\), поэтому рассматриваем только \( x = 0 \).
Шаг 3: Найдите значение функции в критических точках и на границах интервала
Теперь нам нужно найти значения функции на границах интервала и в критической точке \( x = 0 \):
\( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 1 = -1 - 6 + 1 = -6 \]
\( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 1 = 1 \]
\( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 24 + 1 = -15 \]
Шаг 4: Сравните значения
Теперь мы у нас есть значения функции в критической точке и на концах интервала:
- \( y(-1) = -6 \)
- \( y(0) = 1 \)
- \( y(2) = -15 \)
Наибольшее значение функции на интервале \([-1; 2]\) равно \( 1 \) при \( x = 0 \), а наименьшее значение функции равно \( -15 \) при \( x = 2 \).
Ответ
Наибольшее значение функции: \( 1 \) при \( x = 0 \).
Наименьшее значение функции: \( -15 \) при \( x = 2 \).
