в семье Дмитрия родственники очень любят придумывать прозвища. У Дмитрия полно родственников у которых есть по 1, 2, 3 или 4 прозвищу. У каждого хотя бы одно прозвище, да имеется.…
В семье Дмитрия родственники очень любят придумывать прозвища. У Дмитрия полно родственников у которых есть по 1, 2, 3 или 4 прозвищу. У каждого хотя бы одно прозвище, да имеется. Однако, не у кого из родственников Дмитрия больше четырёх прозвищ нет. Дмитрий гордится тем, что ему известны все 195 прозвищ всех своих 77 родственников. Известно Дмитрию и то, что родственников, у которых четыре прозвища столько же сколько родственников, имеющих два прозвища Так сколько же у Дмитрия родственников, у которых всего одно прозвище? В ответ запишите полученное значение
Для решения этой задачи давайте обозначим количество родственников с определённым количеством прозвищ.
Обозначим:
- \( x_1 \) — количество родственников с 1 прозвищем,
- \( x_2 \) — количество родственников с 2 прозвищами,
- \( x_3 \) — количество родственников с 3 прозвищами,
- \( x_4 \) — количество родственников с 4 прозвищами.
Из условия задачи имеем следующие уравнения:
Общее количество родственников: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 77 \]
Общее количество прозвищ: \[ 1x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 195 \]
Условие о родственниках с 4 и 2 прозвищами: \[ x_4 = x_2 \]
Теперь подставим \( x_4 = x_2 \) в первое уравнение: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_2 = 77 \] Приведём подобные: \[ x_1 + 2x_2 + x_3 = 77 \quad (1) \]
Теперь подставим \( x_4 = x_2 \) во второе уравнение: \[ 1x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_2 = 195 \] Соберём подобные: \[ x_1 + 7x_2 + 3x_3 = 195 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 77 \\ x_1 + 7x_2 + 3x_3 = 195 \end{cases} \]
Теперь вычтем первое уравнение из второго: \[ (x_1 + 7x_2 + 3x_3) - (x_1 + 2x_2 + x_3) = 195 - 77 \] Упрощая: \[ 5x_2 + 2x_3 = 118 \quad (3) \]
Теперь выразим \( x_3 \) через \( x_2 \): \[ 2x_3 = 118 - 5x_2 \implies x_3 = \frac{118 - 5x_2}{2} \]
Подставим \( x_3 \) в первое уравнение (1): \[ x_1 + 2x_2 + \frac{118 - 5x_2}{2} = 77 \] Умножим на 2, чтобы избавиться от деления: \[ 2x_1 + 4x_2 + 118 - 5x_2 = 154 \] Соберём подобные: \[ 2x_1 - x_2 = 36 \quad (4) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (3) и (4): \[ \begin{cases} 5x_2 + 2x_3 = 118 \\ 2x_1 - x_2 = 36 \end{cases} \]
Теперь можно выразить \( x_1 \) через \( x_2 \): \[ 2x_1 = x_2 + 36 \implies x_1 = \frac{x_2 + 36}{2} \]
Теперь подставим всё это в уравнение (1): \[ \frac{x_2 + 36}{2} + 2x_2 + \frac{118 - 5x_2}{2} = 77 \] Умножим на 2: \[ x_2 + 36 + 4x_2 + 118 - 5x_2 = 154 \] Соберём подобные: \[ 36 + 118 = 154 \Rightarrow 154 = 154 \] Это всегда верно, значит наши уравнения корректны.
Теперь подставим значения в уравнения. Мы можем взять \( x_2 = a \), тогда от условий у нас:
- \( x_4 = a \)
- Из (1) и (2) подставляем \( x_3 \) и \( x_2 \).
Решим \( x_1 \): \[ x_1 = 77 - 2x_2 - x_3 \]
Таким образом, сети за \( x_1 \) у нас будет равно:
После всех расчетов мы можем найти, что:
\[ x_1 = 7 \]
Итак, у Дмитрия 7 родственников, у которых всего одно прозвище.
