Животноводческие комплексы выращивают бычков на продажу на рынке совершенной конкуренции. Функция общих издержек производства бычков: TC=Q²+4Q+10, где Q — количество бычков в тыс. голов. Рыночный спрос на бычков выражается формулой: P=12-2Q, где P — цена бычка в тыс. руб. Ущерб зелёным насаждениям от каждого дополнительного бычка — 1000 руб. Определите оптимальное количество бычков и цену одного бычка с точки зрения: 1) частных интересов животноводов; 2) общественных интересов?

Для решения данной задачи сначала необходимо рассмотреть функции общих издержек (TC) и рыночного спроса (P), а также учесть внешний эффект от производства, который составляет 1000 рублей ущерба зелёным насаждениям от каждого дополнительного бычка.

1. Оптимальное количество бычков с точки зрения частных интересов животноводов:

   Чтобы найти оптимальное количество бычков (Q), нам нужно определить предельные издержки (MC) и спрос (P).

   • Функция общих издержек: \( TC = Q^2 + 4Q + 10 \)
   • Предельные издержки (MC) находятся как производная функции общих издержек по Q: \[ MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 2Q + 4 \]

   Теперь необходимо найти цену на основе функции рыночного спроса: \[ P = 12 - 2Q \]

   В условиях совершенной конкуренции цена равна предельным издержкам (MC): \[ P = MC \Rightarrow 12 - 2Q = 2Q + 4 \]

   Переносим все термины с Q в одну сторону: \[ 12 - 4 = 4Q \Rightarrow 8 = 4Q \Rightarrow Q = 2 \]

   Теперь мы можем определить цену (P): \[ P = 12 - 2(2) = 12 - 4 = 8 \text{ тыс. руб.} \]

   Таким образом, с точки зрения частных интересов животноводов оптимальное количество бычков равняется 2 тыс. голов, а цена одного бычка составляет 8 тыс. рублей.

2. Оптимальное количество бычков с точки зрения общественных интересов:

   В этом случае необходимо учитывать внешний эффект в 1000 рублей от производства каждого бычка. Таким образом, мы должны прибавить этот внешний ущерб к предельным издержкам: \[ MC_{social} = MC + 1000 = (2Q + 4) + 1000 \] Учитываем, что ущерб выражен в рублях, что мы должны перевести в тысячи рублей, делим на 1000: \[ MC_{social} = 2Q + 4 + 1 = 2Q + 5 \]

   Теперь находим оптимальное количество бычков, приравнивая цену к социальным предельным издержкам: \[ 12 - 2Q = 2Q + 5 \]

   Переносим термины: \[ 12 - 5 = 4Q \Rightarrow 7 = 4Q \Rightarrow Q = \frac{7}{4} = 1.75 \]

   Находим цену: \[ P = 12 - 2(1.75) = 12 - 3.5 = 8.5 \text{ тыс. руб.} \]

   Следовательно, с точки зрения общественных интересов, оптимальное количество бычков — 1.75 тыс. голов, а цена одного бычка составляет 8.5 тыс. рублей.

Итак, резюмируя:

• С точки зрения частных интересов: \( Q = 2 \) тыс. голов, \( P = 8 \) тыс. руб.
• С точки зрения общественных интересов: \( Q = 1.75 \) тыс. голов, \( P = 8.5 \) тыс. руб.