Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей (см. рисунок). Большая шестерня радиусом 10 см делает 20 оборотов за 10 с, а частота обращения меньшей…
Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей (см. рисунок). Большая шестерня радиусом 10 см делает 20 оборотов за 10 с, а частота обращения меньшей шестерни равна 5 с-1. Каков радиус меньшей шестерни?
Чтобы найти радиус меньшей шестерни, начнем с того, что у нас есть информация о большом шестерне. Большая шестерня имеет радиус 10 см и делает 20 оборотов за 10 секунд. Сначала вычислим ее угловую скорость.
- Определяем угловую скорость большой шестерни:
\[ n_{большой} = \frac{20 \, \text{об.}}{10 \, \text{с}} = 2 \, \text{об/с} \]
Угловая скорость (\( \omega \)) связана с частотой вращения формулой:
\[ \omega = 2\pi n \]
Подставим частоту:
\[ \omega_{большой} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \, \text{рад/с} \]
- Далее, мы знаем, что меньшая шестерня вращается с частотой 5 с⁻¹. Таким образом, ее угловая скорость равна:
\[ \omega_{меньший} = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \, \text{рад/с} \]
- Теперь можем использовать соотношение между угловыми скоростями и радиусами шестерен. Угловые скорости шестерен связаны следующим образом:
\[ \omega_{большой} \cdot R_{большой} = \omega_{меньший} \cdot R_{меньший} \]
где \( R_{большой} = 10 \, \text{см} \). Подставим известные значения:
\[ 4\pi \cdot 10 = 10\pi \cdot R_{меньший} \]
- Сокращаем \(\pi\) и решаем уравнение:
\[ 40 = 10 \cdot R_{меньший} \]
\[ R_{меньший} = \frac{40}{10} = 4 \, \text{см} \]
Таким образом, радиус меньшей шестерни составляет 4 см.
