2sin(pi/3 + (5x)/4) < 1

Чтобы решить неравенство \( 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{5x}{4}\right) < 1 \), начнем с упрощения неравенства.

1. Разделим обе стороны на 2: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{5x}{4}\right) < \frac{1}{2. \]

2. Теперь важно вспомнить, что \(\sin(\theta) < \frac{1}{2}\) происходит, когда \(\theta\) находится в пределах: \[ \theta < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta > \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \] где \( k \) — любое целое число.

3. Подставим \(\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{5x}{4}\): \[ \frac{\pi}{3} + \frac{5x}{4} < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{3} + \frac{5x}{4} > \frac{5\pi}{6} + 2k\pi. \]

Теперь решим каждое из этих неравенств.

Первое неравенство: \[ \frac{\pi}{3} + \frac{5x}{4} < \frac{\pi}{6} + 2k\pi. \]

Вычтем \(\frac{\pi}{3}\) из обеих сторон: \[ \frac{5x}{4} < \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi. \] \[ \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}, \quad \text{поэтому:} \] \[ \frac{5x}{4} < -\frac{\pi}{6} + 2k\pi. \] Умножим обе стороны на \(\frac{4}{5}\): \[ x < \frac{4}{5} \left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right). \]

Второе неравенство: \[ \frac{\pi}{3} + \frac{5x}{4} > \frac{5\pi}{6} + 2k\pi. \] Вычтем \(\frac{\pi}{3}\): \[ \frac{5x}{4} > \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi. \] \[ \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}, \quad \text{поэтому:} \] \[ \frac{5x}{4} > \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \] Умножим обе стороны на \(\frac{4}{5}\): \[ x > \frac{4}{5} \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right). \]

Таким образом, мы получили два результата:

1. \( x < \frac{4}{5} \left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) \)
2. \( x > \frac{4}{5} \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) \)

Эти неравенства описывают диапазоны значений \(x\), для которых первоначальное неравенство выполняется. Если нужно более подробное объяснение или дополнительные шаги, не стесняйтесь спрашивать!