Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 5 мкФ и катушки индуктивностью 0,5 мГн. Найти период, собственную и циклическую частоту электромагнитных колебаний.
Для колебательного контура, состоящего из конденсатора и катушки индуктивности, собственная частота \( \omega_0 \) и период \( T \) можно вычислить по следующим формулам:
Собственная частота \( \omega_0 \) (в радианах в секунду): \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \] где \( L \) — индуктивность катушки, а \( C \) — емкость конденсатора.
Период \( T \): \[ T = \frac{2\pi}{\omega_0} \]
Циклическая частота \( f \): \[ f = \frac{\omega_0}{2\pi} \]
Теперь подставим значения из условия задачи:
- \( C = 5 \, \mu F = 5 \times 10^{-6} \, F \)
- \( L = 0.5 \, mH = 0.5 \times 10^{-3} \, H \)
Сначала рассчитаем собственную частоту:
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} = \frac{1}{\sqrt{(0.5 \times 10^{-3}) \cdot (5 \times 10^{-6})}} \]
Подсчитаем значение под корнем:
\[ L \cdot C = 0.5 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{-9} \]
Тогда:
\[ \sqrt{L \cdot C} = \sqrt{2.5 \times 10^{-9}} \approx 5 \times 10^{-5} \]
Теперь подставим это значение в формулу для \( \omega_0 \):
\[ \omega_0 = \frac{1}{5 \times 10^{-5}} = 20000 \, \text{рад/с} \]
Теперь найдем период \( T \):
\[ T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{20000} \approx 3.14 \times 10^{-4} \, s \]
И циклическую частоту \( f \):
\[ f = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{20000}{2\pi} \approx 3183.1 \, Hz \]
Таким образом, результаты:
- Собственная частота \( \omega_0 \approx 20000 \, \text{рад/с} \)
- Период \( T \approx 3.14 \times 10^{-4} \, \text{s} \)
- Циклическая частота \( f \approx 3183.1 \, \text{Hz} \)
