Имеют ли общие точки графики функций у=√х и у=-х+1,5
Чтобы определить, имеют ли графики функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = -x + 1.5 \) общие точки, нужно найти такие значения \( x \), при которых значения обеих функций равны. Это значит, нужно решить уравнение:
\[ \sqrt{x} = -x + 1.5 \]
- Квадрат обеих сторон: Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ x = (-x + 1.5)^2 \]
- Раскроем скобки:
\[ x = x^2 - 3x + 2.25 \]
- Приведем все к одной стороне:
\[ 0 = x^2 - 4x + 2.25 \]
- Решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 2.25 \).
- Вычислим дискриминант:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = 16 - 9 = 7 \]
- Находим корни:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{2} \]
У нас две возможные точки:
\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{2}, \quad x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{2} \]
- Теперь проверим, находятся ли найденные корни в области определения функции \( y = \sqrt{x} \). Поскольку \( \sqrt{x} \) определена только для \( x \geq 0 \), убедимся, что оба корня положительны.
- \( x_1 \) будет положительным, так как \( 4 + \sqrt{7} > 0 \).
- \( x_2 \) также нужно проверить: \( 4 - \sqrt{7} \) положительно, потому что \( \sqrt{7} \) примерно 2.645, что дает \( 4 - 2.645 \approx 1.355 > 0 \).
Обе точки \( x_1 \) и \( x_2 \) находятся в области определения.
- Нахождение соответствующих значений \( y \):
Теперь подставим \( x_1 \) и \( x_2 \) обратно в любое из уравнений, чтобы найти \( y \). Например, подставим в \( y = \sqrt{x} \).
Таким образом, графики функций действительно пересекаются, и у нас есть две точки пересечения. Это интересный пример того, как можно сочетать алгебру и анализ графиков функций. Если возникают дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!
