Задания для самостоятельного решения: Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел в алгебраической форме. 1. 𝑧1 = 2 + 3𝑖, 𝑧2 = 1 + 𝑖 2. 𝑧1 = 3 + 4𝑖, 𝑧2 = 1 − 𝑖 3. 𝑧1 = 1 − 2𝑖, 𝑧2 = −1 + 𝑖 Дайте ответы письменно на контрольные вопросы: 1. Что такое комплексное число? 2. Что такое мнимая единица? 3. Что такое действительная часть числа? 4. Что такое мнимая часть числа? 5. Как сравнить два комплексных числа? 6. какие числа называются сопряженными?

Конечно! Давайте начнем с решения заданий для двух комплексных чисел.

Задания для самостоятельного решения:

Для каждого из данных пар комплексных чисел давайте найдем сумму, разность, произведение и частное.

1. Для \( z_1 = 2 + 3i \) и \( z_2 = 1 + i \):

   • Сумма: \[ z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (1 + i) = (2 + 1) + (3i + i) = 3 + 4i \]
   • Разность: \[ z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (1 + i) = (2 - 1) + (3i - i) = 1 + 2i \]
   • Произведение: \[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 + i) = 2(1) + 2(i) + 3i(1) + 3i(i) = 2 + 2i + 3i + 3(-1) = -1 + 5i \]
   • Частное: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 3i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(2 + 3i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2 - 2i + 3i - 3(-1)}{1 + 1} = \frac{5 + i}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i \]

2. Для \( z_1 = 3 + 4i \) и \( z_2 = 1 - i \):

   • Сумма: \[ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - i) = (3 + 1) + (4i - i) = 4 + 3i \]
   • Разность: \[ z_1 - z_2 = (3 + 4i) - (1 - i) = (3 - 1) + (4i + i) = 2 + 5i \]
   • Произведение: \[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 - i) = 3(1) - 3(i) + 4i(1) - 4(i^2) = 3 - 3i + 4i + 4 = 7 + i \]
   • Частное: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{1 + 1} = \frac{3 + 3i + 4i + 4(-1)}{2} = \frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i \]

3. Для \( z_1 = 1 - 2i \) и \( z_2 = -1 + i \):

   • Сумма: \[ z_1 + z_2 = (1 - 2i) + (-1 + i) = (1 - 1) + (-2i + i) = 0 - i = -i \]
   • Разность: \[ z_1 - z_2 = (1 - 2i) - (-1 + i) = (1 + 1) + (-2i - i) = 2 - 3i \]
   • Произведение: \[ z_1 \cdot z_2 = (1 - 2i)(-1 + i) = 1(-1) + 1(i) - 2i(-1) - 2i(i) = -1 + i + 2i + 2 = 1 + 3i \]
   • Частное: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1 - 2i}{-1 + i} \cdot \frac{-1 - i}{-1 - i} = \frac{(1 - 2i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-1 - i + 2i + 2}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \]

Контрольные вопросы:

1. Что такое комплексное число? Комплексное число — это число, которое имеет форму \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) — действительные числа, а \( i \) — мнимая единица, такая что \( i^2 = -1 \).

2. Что такое мнимая единица? Мнимая единица — это число, обозначаемое как \( i \), которое удовлетворяет уравнению \( i^2 = -1 \). Она используется для представления комплексных чисел.

3. Что такое действительная часть числа? Действительная часть комплексного числа \( z = a + bi \) — это число \( a \), которое отвечает за горизонтальную координату на комплексной плоскости.

4. Что такое мнимая часть числа? Мнимая часть комплексного числа \( z = a + bi \) — это число \( b \), которое отвечает за вертикальную координату на комплексной плоскости.

5. Как сравнить два комплексных числа? Два комплексных числа равны, если их действительные части равны и мнимые части равны, то есть \( z_1 = a + bi \) и \( z_2 = c + di \) равны, если \( a = c \) и \( b = d \).

6. Какие числа называются сопряженными? Сопряженными называются два комплексных числа \( z = a + bi \) и \( \overline{z} = a - bi \). Сопряженные числа имеют одинаковую действительную часть, но противоположные мнимые части.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или понадобится помощь с другими заданиями, не стесняйтесь обращаться! Успехов в учебе!