В группе английский язык изучают 15 учеников, немецкий - 10 учеников, а французский - 5, причём 3 ученика изучают одновременно английский и немецкий языки, 2 ученика изучают…

Для решения задачи воспользуемся принципом включения-исключения.

Обозначим:

• \(A\) — количество учеников, изучающих английский язык (15 учеников),
• \(B\) — количество учеников, изучающих немецкий язык (10 учеников),
• \(C\) — количество учеников, изучающих французский язык (5 учеников).

Далее, введем обозначения для учеников, изучающих языки одновременно:

• \(A \cap B\) — количество учеников, изучающих английский и немецкий языки (3 ученика),
• \(A \cap C\) — количество учеников, изучающих английский и французский языки (2 ученика),
• \(B \cap C\) — количество учеников, изучающих немецкий и французский языки (1 ученик).

Также обозначим \(A \cap B \cap C\) — количество учеников, изучающих все три языка. Так как у нас нет информации о тех, кто изучает все три языка, примем, что это 0.

Теперь мы можем найти общее количество учеников, изучающих языки:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Подставим известные значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 15 + 10 + 5 - 3 - 2 - 1 + 0 \] \[ |A \cup B \cup C| = 30 - 6 = 24 \]

Итак, всего в классе 24 ученика изучают иностранные языки.

Теперь найдем, сколько учеников изучают только один язык. Для этого воспользуемся следующими формулами:

• Только английский: \[ |A_{\text{только}}| = |A| - (|A \cap B| + |A \cap C|) = 15 - (3 + 2) = 10 \]

• Только немецкий: \[ |B_{\text{только}}| = |B| - (|A \cap B| + |B \cap C|) = 10 - (3 + 1) = 6 \]

• Только французский: \[ |C_{\text{только}}| = |C| - (|A \cap C| + |B \cap C|) = 5 - (2 + 1) = 2 \]

Таким образом, резюмируем:

1. Всего учеников, изучающих иностранные языки: 24
2. Учеников, изучающих только английский язык: 10
3. Учеников, изучающих только немецкий язык: 6
4. Учеников, изучающих только французский язык: 2