К лёгкому нерастяжимому стержню, закреплённому шарнирно в вертикальном положении, прикреплён шар массой 700 г . Летящая горизонтально пуля массой 10 г попадает в шар и застревает в нём. При этом шаг отклоняется и поднимается на высоту 20 см. Определите скорость пули при столкновении с шаром
Для решения этой задачи будем использовать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.
Закон сохранения импульса: При столкновении пули (массой \( m_1 = 10 \, г = 0.01 \, кг \)) и шара (массой \( m_2 = 700 \, г = 0.7 \, кг \)) импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения. Пуля летит горизонтально, форма движения шара не имеет значения до момента столкновения.
При столкновении импульс пули будет равен \( m_1 \cdot v_1 \), где \( v_1 \) — скорость пули перед столкновением. После столкновения шар и пуля движутся вместе (пуля застревает в шаре) с общей массой \( m_1 + m_2 \) и общим импульсом:
\[ m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot V, \]
где \( V \) — скорость тела после столкновения.
Закон сохранения энергии: После столкновения вся кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию подъема на высоту \( h = 20 \, см = 0.2 \, м \).
Потенциальная энергия на высоте \( h \) вычисляется по формуле:
\[ E_p = (m_1 + m_2) \cdot g \cdot h, \]
где \( g \approx 9.81 \, м/с^2 \) — ускорение свободного падения.
Если обозначить \( E_k \) как кинетическую энергию после столкновения, то:
\[ E_k = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2. \]
Эта энергия равна потенциальной:
\[ \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 = (m_1 + m_2) \cdot g \cdot h. \]
Упростим уравнение:
\[ \frac{1}{2} V^2 = g \cdot h. \]
Отсюда:
\[ V^2 = 2g \cdot h \implies V = \sqrt{2gh}. \]
Теперь подставим значения:
\[ V = \sqrt{2 \cdot 9.81 \, м/с^2 \cdot 0.2 \, м} = \sqrt{3.924} \approx 1.98 \, м/с. \]
Подставим \( V \) обратно в уравнение импульса:
\[ 0.01 \cdot v_1 = (0.01 + 0.7) \cdot 1.98, \]
\[ 0.01 \cdot v_1 = 0.71 \cdot 1.98 \approx 1.4038. \]
Найдем скорость пули \( v_1 \):
\[ v_1 = \frac{1.4038}{0.01} \approx 140.38 \, м/с. \]
Таким образом, скорость пули при столкновении с шаром составляет приблизительно 140.38 м/с.
