Дан конус, площадь основания 64П, образующая 10. Найти площадь боковой поверхности и объём

Для решения этой задачи давайте начнем с того, что дан конус с площадью основания и образующей.

1. Площадь основания: Площадь основания конуса \( S = 64\pi \). Поскольку основание конуса является кругом, мы можем использовать формулу площади круга \( S = \pi r^2 \), где \( r \) — радиус основания.

   Из этой формулы можем найти радиус: \[ \pi r^2 = 64\pi \] Разделим обе стороны на \( \pi \): \[ r^2 = 64 \] Затем найдем радиус, взяв корень: \[ r = \sqrt{64} = 8 \]

2. Образующая: Из условия известно, что образующая (или наклонная высота) \( l = 10 \).

3. Площадь боковой поверхности: Для вычисления площади боковой поверхности конуса используется формула: \[ S_{\text{бок}} = \pi r l \] Подставляем известные значения: \[ S_{\text{бок}} = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80\pi \]

4. Объём конуса: Объем конуса вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Однако, у нас нет высоты \( h \). Мы можем найти высоту, используя теорему Пифагора, так как у нас есть радиус \( r \) и образующая \( l \): \[ l^2 = r^2 + h^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = 8^2 + h^2 \] \[ 100 = 64 + h^2 \] \[ h^2 = 100 - 64 = 36 \] \[ h = \sqrt{36} = 6 \]

Теперь можем найти объем: \[ V = \frac{1}{3} \pi (8^2) (6) = \frac{1}{3} \pi (64 \cdot 6) = \frac{1}{3} \pi (384) = 128\pi \]

Итак, окончательные ответы:

• Площадь боковой поверхности: \( 80\pi \)
• Объём: \( 128\pi \)