Для прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB=2, AD=2, AA1=1, найдите угол между прямыми DB1 и AC.
Для нахождения угла между прямыми \( DB_1 \) и \( AC \) в прямоугольном параллелепипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с определения векторов, представляющих эти прямые.
Координаты вершин параллелепипеда:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(2, 0, 0) \)
- \( C(2, 2, 0) \)
- \( D(0, 2, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(2, 0, 1) \)
- \( C_1(2, 2, 1) \)
- \( D_1(0, 2, 1) \)
Векторы:
Вектор \( \overrightarrow{DB_1} \) можно найти следующим образом: \[ \overrightarrow{DB_1} = B_1 - D = (2, 0, 1) - (0, 2, 0) = (2, -2, 1) \]
Вектор \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0) \]
Угол между векторами: Угол \( \theta \) между двумя векторами можно найти с помощью формулы: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{DB_1} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{DB_1}| |\overrightarrow{AC}|} \] где \( \overrightarrow{DB_1} \cdot \overrightarrow{AC} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\overrightarrow{DB_1}| \) и \( |\overrightarrow{AC}| \) — их длины.
Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{DB_1} \cdot \overrightarrow{AC} = (2, -2, 1) \cdot (2, 2, 0) = 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 4 - 4 + 0 = 0 \]
Длины векторов:
Длина вектора \( |\overrightarrow{DB_1}| \): \[ |\overrightarrow{DB_1}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]
Длина вектора \( |\overrightarrow{AC}| \): \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Находим косинус угла: \[ \cos \theta = \frac{0}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = 0 \]
Определяем угол \( \theta \): Если \( \cos \theta = 0 \), это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).
Таким образом, угол между прямыми \( DB_1 \) и \( AC \) равен \( 90 \) градусов.
