Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках Ки Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АК: КР = 4 :5, AВ = 12.

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательной и секущей. Известно, что квадрат длины касательной (AB) равен произведению длин отрезков секущей, образуемой касательной и секущей:

\[ AB^2 = AK \cdot AP. \]

Дано:

• \( AB = 12 \)
• \( AK : KR = 4 : 5 \)

Обозначим \( AK = x \). Тогда, так как секущая делится на отрезки AK и KR в отношении 4:5, имеем:

\[ KR = \frac{5}{4} \cdot AK = \frac{5}{4} \cdot x. \]

Таким образом, отрезок AP, который равен сумме отрезков AK и KR, можно выразить как:

\[ AP = AK + KR = x + \frac{5}{4}x = \left(1 + \frac{5}{4}\right)x = \frac{9}{4}x. \]

Теперь подставим известные значения в формулу для касательной:

\[ AB^2 = AK \cdot AP \implies 12^2 = x \cdot \frac{9}{4}x. \]

Это уравнение можно записать так:

\[ 144 = \frac{9}{4} x^2. \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ 576 = 9x^2. \]

Теперь разделим обе стороны на 9:

\[ x^2 = \frac{576}{9} = 64 \implies x = 8. \]

Таким образом, мы нашли:

\[ AK = 8. \]

Теперь находим KR:

\[ KR = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10. \]

Следовательно, длина отрезка AP:

\[ AP = AK + KR = 8 + 10 = 18. \]

Итак, длины отрезков:

• \( AK = 8 \)
• \( AP = 18. \)

Ответ: \( AK = 8 \), \( AP = 18. \)