Внутри круга с радиусом 10см начертили квадрат. Известно, что диогональ квадрата равна радиусу окружности. Какова вероятность того, что выбранная наугад точка принадлежитквадрату?…

Для решения задачи давайте сначала разберемся с данными. У нас есть круг радиусом 10 см, а также квадрат, диогональ которого равна радиусу окружности. То есть, длина диагонали квадрата составляет 10 см.

Сначала найдем сторону квадрата. Известно, что диагональ квадрата (d) связана со стороной (a) следующим образом:

\[ d = a\sqrt{2} \]

Подставим известное значение диагонали:

\[ 10 = a\sqrt{2} \]

Теперь выразим сторону квадрата:

\[ a = \frac{10}{\sqrt{2}} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[ a = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \]

Теперь найдем площадь квадрата:

\[ S_{\text{квадрат}} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \, \text{см}^2 \]

Теперь вычислим площадь круга радиусом 10 см. Площадь круга вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{круг}} = \pi r^2 \]

В данном случае радиус \(r = 10\) см, подставим это значение:

\[ S_{\text{круг}} = \pi \cdot (10)^2 = 100\pi \]

Если использовать значение \(\pi \approx 3\), то:

\[ S_{\text{круг}} \approx 100 \cdot 3 = 300 \, \text{см}^2 \]

Теперь можем найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга окажется внутри квадрата. Для этого необходимо разделить площадь квадрата на площадь круга:

\[ P = \frac{S_{\text{квадрат}}}{S_{\text{круг}}} = \frac{50}{300} = \frac{1}{6} \]

Таким образом, вероятность того, что выбранная наугад точка принадлежит квадрату, составляет \(\frac{1}{6}\).