Балл) Даны точки А(2,0,5), В(2,4,-2) С(-2,6,3). Серединой какого отрезка является точка М(0,3,4)? A) АВ: Б) ВС: В) АС; Г) СВ. При выполнении заданий 5-8 запишите ход решения и полученный ответ. 5. (2 балла) Даны векторы а(-6,0,8) , в(-3.2,-6). Пайдите скалярное произведение векторов. 6. (2 балла) При каких значениях п векторы а (4.п.2), в(1,2, п) перпендикулярны?) 7. (2 балла) Даны векторы а(-6,0,8), в(-3,2,-6). Найдите косинус угла между векторами. 8. (2 балла) Докажите, что четырёхугольник АВСД является ромбом, если: A (6,7,8), B(8,2,6), C(4,3,2), Д(2,8,4).

Задание 1: Найти отрезок, середина которого является точка М(0,3,4).

Чтобы выяснить, серединой какого отрезка является точка М, нужно найти середины отрезков AB, BC и AC.

1. Середина отрезка AB: \[ M_{AB} = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] \[ M_{AB} = \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{5 - 2}{2} \right) = \left( 2, 2, 1.5 \right) \]

2. Середина отрезка BC: \[ M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) \] \[ M_{BC} = \left( \frac{2 - 2}{2}, \frac{4 + 6}{2}, \frac{-2 + 3}{2} \right) = \left( 0, 5, 0.5 \right) \]

3. Середина отрезка AC: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) \] \[ M_{AC} = \left( \frac{2 - 2}{2}, \frac{0 + 6}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right) = \left( 0, 3, 4 \right) \]

Точка M(0,3,4) является серединой отрезка AC.

Ответ: В) AC.

Задание 5: Найти скалярное произведение векторов a и b.

Векторы:

• \( a = (-6, 0, 8) \)
• \( b = (-3, 2, -6) \)

Скалярное произведение векторов определяется как: \[ a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] \[ a \cdot b = (-6) \cdot (-3) + 0 \cdot 2 + 8 \cdot (-6) \] \[ = 18 + 0 - 48 = -30 \]

Ответ: -30.

Задание 6: При каких значениях п векторы a и b перпендикулярны?

Векторы:

• \( a = (4, p, 2) \)
• \( b = (1, 2, p) \)

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0: \[ a \cdot b = 4 \cdot 1 + p \cdot 2 + 2 \cdot p = 0 \] \[ 4 + 2p + 2p = 0 \] \[ 4 + 4p = 0 \rightarrow p = -1 \]

Ответ: p = -1.

Задание 7: Найти косинус угла между векторами a и b.

Векторы:

• \( a = (-6, 0, 8) \)
• \( b = (-3, 2, -6) \)

Косинус угла между векторами определяется как: \[ \cos \theta = \frac{a \cdot b}{||a|| \cdot ||b||} \] Сначала найдем длины векторов: \[ ||a|| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 0 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] \[ ||b|| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \] Теперь можем подставить значения: \[ \cos \theta = \frac{-30}{10 \cdot 7} = \frac{-30}{70} = -\frac{3}{7} \]

Ответ: -\frac{3}{7}.

Задание 8: Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом.

Для того чтобы четырехугольник ABCD был ромбом, необходимо, чтобы все его стороны были равны. Найдем длины сторон:

1. AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] \[ = \sqrt{(8 - 6)^2 + (2 - 7)^2 + (6 - 8)^2} = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 25 + 4} = \sqrt{33} \]

2. BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} \] \[ = \sqrt{(4 - 8)^2 + (3 - 2)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \]

3. CD: \[ CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2} \] \[ = \sqrt{(2 - 4)^2 + (8 - 3)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 25 + 4} = \sqrt{33} \]

4. DA: \[ DA = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2 + (z_A - z_D)^2} \] \[ = \sqrt{(6 - 2)^2 + (7 - 8)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \]

Все стороны равны:

• AB = BC = CD = DA = \( \sqrt{33} \)

Таким образом, четырехугольник ABCD является ромбом.

Ответ: Четырехугольник ABCD является ромбом.