Найдите значение суммы S = (1^2 + 1*3 + 3^2 ) + (3^2+3*5+5^2)+(5^2+5*7+7^2)+…. (97^2+97*99+99^2)+(99^2+99*101+101^2)
Чтобы найти значение суммы
\[ S = (1^2 + 1 \cdot 3 + 3^2) + (3^2 + 3 \cdot 5 + 5^2) + (5^2 + 5 \cdot 7 + 7^2) + \ldots + (97^2 + 97 \cdot 99 + 99^2) + (99^2 + 99 \cdot 101 + 101^2), \]
начнем с анализа общего слагаемого суммы.
Каждое слагаемое можно записать в виде:
\[ n^2 + n \cdot (n + 2) + (n + 2)^2. \]
Здесь \( n \) принимает значения 1, 3, 5, ... , 99 (все нечетные числа от 1 до 99).
Формально, мы можем обозначить \( n \) как \( n = 2k + 1 \), где \( k = 0, 1, 2, \ldots, 49 \) (это означает 50 слагаемых, так как 99 - это 50-й нечетный номер).
Теперь подставим \( n = 2k + 1 \):
\[ (2k + 1)^2 + (2k + 1)(2k + 3) + (2k + 3)^2. \]
Раскроем скобки и упростим:
- \( (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \)
- \( (2k + 1)(2k + 3) = 4k^2 + 6k + 3 \)
- \( (2k + 3)^2 = 4k^2 + 12k + 9 \)
Теперь суммируем:
\[ S_k = (4k^2 + 4k + 1) + (4k^2 + 6k + 3) + (4k^2 + 12k + 9). \]
Объединим подобные члены:
\[ S_k = 12k^2 + 22k + 13. \]
Теперь найдем полный результат суммы для всех \( k \) от 0 до 49:
\[ S = \sum_{k=0}^{49} (12k^2 + 22k + 13). \]
Это можно разбить на три отдельных суммы:
- \( 12 \sum_{k=0}^{49} k^2 \),
- \( 22 \sum_{k=0}^{49} k \),
- \( 13 \cdot 50 \) (так как \( k \) принимает 50 значений).
Используем формулы для суммы квадратов и суммы натуральных чисел:
- \( \sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \),
- \( \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \).
Подставим \( n = 49 \):
- \( \sum_{k=0}^{49} k^2 = \frac{49 \cdot 50 \cdot 99}{6} = 40425 \),
- \( \sum_{k=0}^{49} k = \frac{49 \cdot 50}{2} = 1225 \).
Теперь вычислим элементы суммы:
- \( 12 \cdot 40425 = 485100 \),
- \( 22 \cdot 1225 = 26950 \),
- \( 13 \cdot 50 = 650 \).
Соединим все части:
\[ S = 485100 + 26950 + 650 = 512700. \]
Таким образом, значение суммы \( S \) равно 512700.
