. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD стороны основания и высота равны 4 см. Точка Е — середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и SD.

Для решения задачи нам нужно найти косинус угла между прямыми \( AE \) и \( SD \) в правильной четырехугольной пирамиде \( SABCD \) с основанием квадратом и высотой 4 см.

Шаг 1: Определим координаты вершин пирамиды

Предположим, что основание квадрата \( ABCD \) лежит в plane \( z = 0 \), а вершина \( S \) находится на высоте.

• Вершины основания:

  • \( A(0, 0, 0) \)
  • \( B(4, 0, 0) \)
  • \( C(4, 4, 0) \)
  • \( D(0, 4, 0) \)

• Вершина пирамиды:

  • \( S(2, 2, 4) \) (центр квадрата, высота 4 см)

Шаг 2: Найдем координаты точки E

Точка \( E \) — середина ребра \( SB \):

\[ E = \left( \frac{x_S + x_B}{2}, \frac{y_S + y_B}{2}, \frac{z_S + z_B}{2} \right) = \left( \frac{2 + 4}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{4 + 0}{2} \right) = \left( 3, 1, 2 \right) \]

Шаг 3: Найдем вектора \( AE \) и \( SD \)

• Вектор \( \overrightarrow{AE} = E - A = (3 - 0, 1 - 0, 2 - 0) = (3, 1, 2) \)
• Вектор \( \overrightarrow{SD} = D - S = (0 - 2, 4 - 2, 0 - 4) = (-2, 2, -4) \)

Шаг 4: Найдем длины векторов

Длина вектора \( \overrightarrow{AE} \): \[ |\overrightarrow{AE}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \]

Длина вектора \( \overrightarrow{SD} \): \[ |\overrightarrow{SD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Шаг 5: Найдем скалярное произведение

Скалярное произведение \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{SD} \): \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{SD} = 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = -6 + 2 - 8 = -12 \]

Шаг 6: Найдем косинус угла между векторами

Косинус угла \( \theta \) между векторами можно найти по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{SD}}{|\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{SD}|} \] Подставляя значения, получаем: \[ \cos \theta = \frac{-12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-12}{2 \cdot \sqrt{84}} = \frac{-6}{\sqrt{84}} = \frac{-6}{2\sqrt{21}} = \frac{-3}{\sqrt{21}} \]

Таким образом, косинус угла между прямыми \( AE \) и \( SD \) равен \( \frac{-3}{\sqrt{21}} \).