В кубе АBCDA1B1C1D1 все ребра равны 2 см, точка Е середина ребра А1В1 ,точка F - середина ребра В₁С₁ (рис. 8.4). Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.
Чтобы найти косинус угла между прямыми \( AE \) и \( BF \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с определения координат всех точек.
Пусть координаты вершин куба будут следующие:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(2, 0, 0) \)
- \( C(2, 2, 0) \)
- \( D(0, 2, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 2) \)
- \( B_1(2, 0, 2) \)
- \( C_1(2, 2, 2) \)
- \( D_1(0, 2, 2) \)
Теперь находим координаты точек \( E \) и \( F \):
Точка \( E \) — середина ребра \( A_1B_1 \): \[ E\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = E(1, 0, 2) \]
Точка \( F \) — середина ребра \( B_1C_1 \): \[ F\left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = F(2, 1, 2) \]
Теперь найдем векторы \( \overrightarrow{AE} \) и \( \overrightarrow{BF} \):
Вектор \( \overrightarrow{AE} = E - A \): \[ \overrightarrow{AE} = (1 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (1, 0, 2) \]
Вектор \( \overrightarrow{BF} = F - B \): \[ \overrightarrow{BF} = (2 - 2, 1 - 0, 2 - 0) = (0, 1, 2) \]
Теперь можем найти косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AE} \) и \( \overrightarrow{BF} \) с помощью формулы: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{BF}|} \]
Сначала посчитаем скалярное произведение \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BF} \): \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BF} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 0 + 0 + 4 = 4 \]
Теперь найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{AE}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{BF}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5} \]
Теперь подставим все в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5} \]
Таким образом, косинус угла между прямыми \( AE \) и \( BF \) равен \( \frac{4}{5} \).
