Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный промахивается мимо первой корзины с вероятностью и с такой же вероятностью он промахивается мимо второй. За утро 4 Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Известно, что в корзины попало ровно 4 из них. Найдите вероятность того, что ни одна из корзин не пустая.

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим некоторые исходные данные.

Предположим, что вероятность промаха мимо каждой из корзин составляет \( p \). Соответственно, вероятность попадания в корзину равна \( 1 - p \).

Учёный бросил 5 скомканных идей, и из них попало в корзины ровно 4. Это значит, что один из бросков оказался промахом. Мы хотим найти вероятность того, что ни одна из корзин не осталась пустой.

Рассмотрим возможные варианты попадания в корзины:

1. Обозначим корзину 1 как \( C_1 \), а корзину 2 как \( C_2 \).
2. Можно оформить удачные исходы следующим образом: пусть \( k_1 \) - количество идей, попавших в корзину 1, а \( k_2 \) - количество идей, попавших в корзину 2. При этом условие задачи подразумевает \( k_1 + k_2 = 4 \).

Чтобы ни одна из корзин не осталась пустой, нам нужно, чтобы \( k_1 \) и \( k_2 \) оба были больше 0. Это означает:

• \( k_1 \geq 1 \)
• \( k_2 \geq 1 \)

Таким образом, возможные комбинации для \( k_1 \) и \( k_2 \) будут:

• \( k_1 = 1 \), \( k_2 = 3 \)
• \( k_1 = 2 \), \( k_2 = 2 \)
• \( k_1 = 3 \), \( k_2 = 1 \)

Теперь рассчитаем количество способов, как может произойти каждая комбинация.

Общее количество способов выбрать 4 успешных броска из 5 будет равно \( \binom{5}{4} = 5 \).

Теперь считаем способы для каждого случая:

1. Для комбинации (1, 3):

   • Выбираем 1, которая попала в 1-ую корзину, и 3, которые попали во 2-ую.
   • Количество способов: \( \binom{4}{1} = 4 \).

2. Для комбинации (2, 2):

   • Выбираем 2, которые попали в 1-ую корзину, и 2, которые попали во 2-ую.
   • Количество способов: \( \binom{4}{2} = 6 \).

3. Для комбинации (3, 1):

   • Выбираем 3, которые попали в 1-ую корзину, и 1, который попал во 2-ую.
   • Количество способов: \( \binom{4}{3} = 4 \).

Теперь нам нужно посчитать общее количество успешных комбинаций: \[ 4 + 6 + 4 = 14. \]

Теперь найдем общее количество вариантов, когда 4 идеи попали в корзины и 1 не попала. Это может произойти следующим образом:

• Пусть \( X \) - количество идей, пропущенных мимо.
• Возможных способов расположить 5 идей: \( 2^5 \) (каждая идея может попасть в первую или вторую корзину или промахнуться мимо обеих).

Итак, общее количество успешных бросков равно \( 2^5 - 1 \) (минус 1 потому, что мы вычитаем случай, когда все 5 оказались мимо).

Теперь просчитаем вероятность того, что ни одна из корзин не пуста: \[ P = \frac{\text{количество удачных способов}}{\text{общее количество способов}} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}. \]

Таким образом, вероятность того, что ни одна из корзин не осталась пустой, равна \( \frac{7}{15} \).