Решите неравенство a) sin x < 0,5; б) cosx > 0,5

Для решения неравенств необходимо рассмотреть каждое из них отдельно.

а) \( \sin x < 0,5 \)

Сначала найдем значения \( x \), для которых \( \sin x = 0,5 \). Это происходит при

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Значения sin(x) меньше 0.5 находятся между этими двумя точками:

\[ \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Таким образом, общее решение:

\[ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right) \]

б) \( \cos x > 0,5 \)

Теперь найдем значения \( x \), для которых \( \cos x = 0,5 \). Это происходит при

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Значения cos(x) больше 0.5 находятся между этими двумя точками:

\[ \frac{5\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2(k+1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Упрощая это, получаем:

\[ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, 2(k+1)\pi \right) \]

Таким образом, общее решение для неравенств:

a) \( \sin x < 0,5 \): \( x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right) \)

б) \( \cos x > 0,5 \): \( x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, 2(k+1)\pi \right) \)