(x+4)/(x+1) - 10/(x^(2)-1) = 10/3
Чтобы решить уравнение \(\frac{x+4}{x+1} - \frac{10}{x^{2}-1} = \frac{10}{3}\), давайте начнем с упрощения.
- Прежде всего, заметим, что \(x^2 - 1\) можно разложить на множители: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Теперь можем переписать уравнение:
\[ \frac{x+4}{x+1} - \frac{10}{(x-1)(x+1)} = \frac{10}{3}. \]
- Приведем оба дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для левой части уравнения будет \((x - 1)(x + 1)\):
\[ \frac{(x+4)(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{10}{(x-1)(x+1)} = \frac{10}{3}. \]
- Упрощаем левую часть:
\[ \frac{(x+4)(x-1) - 10}{(x-1)(x+1)} = \frac{10}{3}. \]
- Теперь раскроем скобки в числителе:
\[ (x+4)(x-1) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4. \]
Таким образом, получим:
\[ \frac{x^2 + 3x - 4 - 10}{(x-1)(x+1)} = \frac{10}{3}. \]
- Упрощаем числитель:
\[ x^2 + 3x - 14. \]
То есть у нас появляется следующее уравнение:
\[ \frac{x^2 + 3x - 14}{(x-1)(x+1)} = \frac{10}{3}. \]
- Теперь давайте перемножим обе стороны на \((x-1)(x+1)\):
\[ x^2 + 3x - 14 = \frac{10}{3} \cdot (x-1)(x+1). \]
- Раскроем правую часть уравнения:
\((x-1)(x+1) = x^2 - 1\), следовательно:
\[ \frac{10}{3} (x^2 - 1) = \frac{10}{3} x^2 - \frac{10}{3}. \]
- Теперь подставим это в уравнение:
\[ x^2 + 3x - 14 = \frac{10}{3} x^2 - \frac{10}{3}. \]
- Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 3x^2 + 9x - 42 = 10x^2 - 10. \]
- Переносим всё в одну сторону:
\[ 0 = 10x^2 - 3x^2 - 9x - 10 + 42, \] что упрощается до:
\[ 7x^2 - 9x + 32 = 0. \]
- Теперь решим квадратное уравнение \(7x^2 - 9x + 32 = 0\) с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 32 = 81 - 896 = -815. \]
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.
Таким образом, у нашего исходного уравнения нет действительных решений. Если у вас есть еще вопросы или нужно разъяснить какие-то моменты, пожалуйста, спрашивайте!
