Остаток от деления числа а на 17 равен 4. Найдите остаток от деления на 17 числа 7а-а^2. Проверьте результат при: a) a = 4 6) a = 21

Давайте разберем задачу по шагам.

У нас есть число \(a\), которое при делении на 17 дает остаток 4. Это можно записать как:

\[ a \equiv 4 \mod 17 \]

Теперь нам нужно найти остаток от деления выражения \(7a - a^2\) на 17.

Для этого сначала подставим \(a\) в выражение:

1. Выразим \(a\) через остаток: \[ a = 17k + 4 \] для некоторого целого числа \(k\).

2. Подставим это в \(7a - a^2\): \[ 7a - a^2 = 7(17k + 4) - (17k + 4)^2 \]

   Раскроем скобки: \[ = 119k + 28 - (289k^2 + 136k + 16) \]

   Теперь выделим части с \(k\): \[ = -289k^2 + (119 - 136)k + (28 - 16) \] \[ = -289k^2 - 17k + 12 \]

   Теперь мы можем взять остаток от деления каждого члена на 17.

Поскольку \(-289k^2\) и \(-17k\) кратны 17, остаток этих членов будет равен 0. Таким образом, мы получаем:

\[ 7a - a^2 \equiv 12 \mod 17 \]

Теперь проверим результаты при заданных значениях \(a\):

a) При \(a = 4\): \[ 7(4) - (4)^2 = 28 - 16 = 12 \] Остаток от деления 12 на 17 равен 12.

б) При \(a = 21\): Сначала вычислим остаток: \[ 21 \mod 17 = 4 \] Значит, для \(a = 21\) мы также имеем \(a \equiv 4 \mod 17\), следовательно, \[ 7(21) - (21)^2 = 147 - 441 = -294 \] Теперь найдем остаток от -294 на 17. Находим, сколько раз 17 помещается в 294: \[ 294 \div 17 \approx 17.294 \quad (так как 17 \cdot 17 = 289) \] Следовательно, \(294 - 289 = 5\), а значит: \[ -294 \equiv -5 \mod 17 \equiv 12 \mod 17 \]

Таким образом, для обоих случаев остаток от деления \(7a - a^2\) на 17 равен 12.