В треугольнике A B C ABC угол A A равен 6 0 ∘ , 60 ∘ , угол B B равен 4 5 ∘ , 45 ∘ , B C = 5 6 . BC=5 6 . Найдите A C . AC

Чтобы найти сторону \( AC \) в треугольнике \( ABC \), можно использовать закон синусов.

Дано:

• угол \( A = 60^\circ \)
• угол \( B = 45^\circ \)
• сторона \( BC = 56 \)

Сначала найдем угол \( C \) с помощью свойства суммы углов в треугольнике, который равен \( 180^\circ \):

\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Теперь мы можем применить закон синусов, который гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• \( a = BC = 56 \)
• \( b = AC \)
• \( c = AB \)

Поэтому можем записать:

\[ \frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{56}{\sin 75^\circ} \]

Чтобы найти \( AC \), выразим его:

\[ AC = 56 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \]

Зная, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \), мы можем вычислить \( \sin 75^\circ \):

\[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставим обратно в уравнение:

\[ AC = 56 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 56 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] \[ AC = \frac{112\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Теперь можно упростить это значение, но конечный ответ будет представлен именно в такой форме. Вы можете подставить значения корней, если нужна численная оценка.

Таким образом, сторона \( AC \) равна \(\frac{112\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\).