Решите систему неравенств {7х-х^2>0 {36-х^2>0

Для решения системы неравенств:

1. \(7x - x^2 > 0\)
2. \(36 - x^2 > 0\)

Начнем с первого неравенства:

1. Решение неравенства \(7x - x^2 > 0\)

Перепишем его в стандартной форме:

\(-x^2 + 7x > 0\)

Умножим на -1 (не забываем изменить знак неравенства):

\(x^2 - 7x < 0\)

Теперь найдем корни уравнения \(x^2 - 7x = 0\):

\(x(x - 7) = 0\)

Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 7\).

Теперь определим промежутки, на которых это выражение отрицательно. Проанализируем знаки:

• Для \(x < 0\): \(x(x - 7) > 0\)
• Для \(0 < x < 7\): \(x(x - 7) < 0\) (значение отрицательное)
• Для \(x > 7\): \(x(x - 7) > 0\)

Таким образом, решение первого неравенства:

\(0 < x < 7\)

2. Решение неравенства \(36 - x^2 > 0\)

Перепишем его в стандартном виде:

\(x^2 < 36\)

Теперь найдем корни уравнения \(x^2 - 36 = 0\):

\(x^2 = 36\)

Корни: \(x_1 = -6\), \(x_2 = 6\).

А теперь определим промежутки, на которых это выражение положительно:

• Для \(x < -6\): \(x^2 > 36\) (значение положительное)
• Для \(-6 < x < 6\): \(x^2 < 36\) (значение отрицательное)
• Для \(x > 6\): \(x^2 > 36\) (значение положительное)

Таким образом, решение второго неравенства:

\(-6 < x < 6\)

3. Совмещение решений

Теперь объединим обе части:

• Из первого неравенства: \(0 < x < 7\)
• Из второго неравенства: \(-6 < x < 6\)

Общее решение — это пересечение этих двух интервалов:

\((0, 6)\)

Таким образом, совместное решение системы неравенств:

\(0 < x < 6\).