Четно или нечетно число 1^4+2^4+3^4+4^4+....+100^4?
Чтобы определить, четное или нечетное число сумма \(1^4 + 2^4 + 3^4 + \ldots + 100^4\), давайте сначала рассмотрим свойства степени четных и нечетных чисел.
Четное число в четвёртой степени остается четным: \[ (2n)^4 = 16n^4 \quad (\text{четное}) \]
Нечетное число в четвёртой степени остается нечетным: \[ (2n + 1)^4 = 1 + 4(2n)(2n + 1)(3n^2 + 3n) \quad (\text{нечетное}) \]
Теперь проверим, сколько четных и нечетных чисел в диапазоне от 1 до 100:
- Чётные числа: \(2, 4, 6, \ldots, 100\) (всего 50 четных чисел).
- Нечётные числа: \(1, 3, 5, \ldots, 99\) (всего 50 нечётных чисел).
Теперь посчитаем сумму четвёртых степеней:
Сумма четных четвёртых степеней: \[ (2^4) + (4^4) + (6^4) + \ldots + (100^4) \text{ – четное число } \]
Сумма нечётных четвёртых степеней: \[ (1^4) + (3^4) + (5^4) + \ldots + (99^4) \text{ – нечетное число } \]
Так как 50 четных чисел дают четную сумму и 50 нечётных чисел дают нечетную сумму, то в конце концов:
\[ \text{четная сумма} + \text{нечетная сумма} = \text{нечетная сумма} \]
Таким образом, сумма \(1^4 + 2^4 + 3^4 + \ldots + 100^4\) является нечетным числом.
