Решите систему неравенств 8х+х^2<0 49-х^2>0
Решим систему неравенств:
Первое неравенство: \( 8x + x^2 < 0 \)
Это неравенство можно переписать в стандартной форме:
\[ x^2 + 8x < 0 \]
Данную квадратичную функцию можно представить как:
\[ x(x + 8) < 0 \]
Теперь найдем нули: \( x = 0 \) и \( x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8 \).
Таким образом, нули функции -8 и 0. Рассмотрим интервалы:
- \( (-\infty, -8) \)
- \( (-8, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Теперь проверим знак функции на каждом интервале:
- Для \( x < -8 \) (например, \( x = -9 \)): \( (-9)(-1) > 0 \)
- Для \( -8 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(7) < 0 \)
- Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)(9) > 0 \)
Таким образом, решение первого неравенства:
\[ x \in (-8, 0) \]
Второе неравенство: \( 49 - x^2 > 0 \)
Это неравенство можно переписать как:
\[ 49 > x^2 \]
Можем взять корень из обеих сторон:
\[ -7 < x < 7 \]
Теперь объединим оба решения:
- Решение первого неравенства: \( x \in (-8, 0) \).
- Решение второго неравенства: \( x \in (-7, 7) \).
Пересекаем оба интервала:
\[ x \in (-7, 0) \]
Таким образом, окончательное решение системы неравенств:
\[ x \in (-7, 0) \]
