Решите систему неравенств {х^2+4х<0 {-х^2+х+2>\0
Для решения системы неравенств:
- \( x^2 + 4x < 0 \)
- \( -x^2 + x + 2 > 0 \)
начнем с первого неравенства:
1. Решение неравенства \( x^2 + 4x < 0 \)
Решим неравенство:
\( x^2 + 4x = x(x + 4) < 0 \)
Задать корни: \( x = 0 \) и \( x = -4 \).
Теперь определим интервалы:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Выберем тестовые значения из каждого интервала:
Для интервала \( (-\infty, -4) \), например, \( x = -5 \): \( (-5)^2 + 4(-5) = 25 - 20 = 5 \) (не удовлетворяет).
Для интервала \( (-4, 0) \), например, \( x = -2 \): \( (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4 \) (удовлетворяет).
Для интервала \( (0, +\infty) \), например, \( x = 1 \): \( (1)^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5 \) (не удовлетворяет).
Таким образом, решение первого неравенства: \[ x \in (-4, 0) \]
2. Решение неравенства \( -x^2 + x + 2 > 0 \)
Решим неравенство:
\( -x^2 + x + 2 = 0 \)
Используем дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(2) = 1 + 8 = 9 \)
Корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{-2} \)
Получаем \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \).
Теперь определим интервалы:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Выберем тестовые значения из каждого интервала:
Для интервала \( (-\infty, -2) \), например, \( x = -3 \): \( -(-3)^2 + (-3) + 2 = -9 - 3 + 2 = -10 \) (не удовлетворяет).
Для интервала \( (-2, 1) \), например, \( x = 0 \): \( -0^2 + 0 + 2 = 2 \) (удовлетворяет).
Для интервала \( (1, +\infty) \), например, \( x = 2 \): \( -(2)^2 + 2 + 2 = -4 + 2 + 2 = 0 \) (не удовлетворяет).
Таким образом, решение второго неравенства: \[ x \in (-2, 1) \]
3. Объединение решений
Теперь объединим решения обоих неравенств:
- \( x \in (-4, 0) \)
- \( x \in (-2, 1) \)
Совместное решение:
\[ x \in (-2, 0) \]
Итоговое решение:
\[ x \in (-2, 0) \]
