Решите систему неравенств {х^2+4х<0 {-х^2+х+2>\0

Чтобы решить систему неравенств

1. \( x^2 + 4x < 0 \)
2. \( -x^2 + x + 2 > 0 \)

начнем с первого неравенства.

1. Решение неравенства \( x^2 + 4x < 0 \)

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения:

\[ x^2 + 4x = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \]

Корни: \( x = 0 \) и \( x = -4 \).

Построим знаковую прямую для анализа:

• \( -\infty < -4 \): здесь \( x^2 + 4x > 0 \) (оба множителя отрицательны)
• \( -4 < 0 \): здесь \( x^2 + 4x < 0 \) (первый множитель отрицателен, второй положителен)
• \( 0 < +\infty \): здесь \( x^2 + 4x > 0 \) (оба множителя положительны)

Итак, неравенство выполняется на интервале:

\[ (-4, 0) \]

2. Решение неравенства \( -x^2 + x + 2 > 0 \)

Перепишем его в более удобной форме:

\[ x^2 - x - 2 < 0 \]

Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \):

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Корни:

\[ x_1 = 2; \quad x_2 = -1 \]

Теперь построим знаковую прямую для анализа:

• \( -\infty < -1 \): здесь \( x^2 - x - 2 > 0 \)
• \( -1 < 2 \): здесь \( x^2 - x - 2 < 0 \)
• \( 2 < +\infty \): здесь \( x^2 - x - 2 > 0 \)

Следовательно, неравенство выполняется на интервале:

\[ (-1, 2) \]

3. Пересечение интервалов

Теперь рассмотрим оба интервала:

1. Из первого неравенства: \( (-4, 0) \)
2. Из второго неравенства: \( (-1, 2) \)

Пересечение этих интервалов:

\[ (-4, 0) \cap (-1, 2) = (-1, 0) \]

Ответ

Система неравенств выполняется для:

\[ x \in (-1, 0) \]