Теннисисты в турнире сыграли между собой 224 матча. Каждые двое сыграли друг с другом одно и тоже число матчей. Сколько теннисистов участвовало в турнире? Найдите все варианты.

Чтобы решить эту задачу, начнем с определения того, сколько теннисистов участвовало в турнире и как связаны количество матчей и количество игроков.

Обозначим количество теннисистов как \( n \). Каждый теннисист сыграл с каждым другим теннисистом одинаковое количество матчей, обозначим это количество как \( k \). Таким образом, общее количество матчей можно выразить формулой:

\[ \text{Общее количество матчей} = k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot \frac{n(n-1)}{2} \]

По условию задачи, общее количество матчей равно 224:

\[ k \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 224 \]

Упростим уравнение:

\[ k \cdot n(n-1) = 448 \]

Теперь мы можем определить возможные значения для \( n \) и \( k \). Поскольку \( n(n-1) \) должно делить 448, давайте найдем все делители числа 448.

Число 448 можно разложить на простые множители:

\[ 448 = 2^6 \cdot 7 \]

Теперь найдем все делители 448. Они равны: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 64, 112, 224, 448.

Теперь нам нужно проверить каждое значение делителя \( m = n(n-1) \) и найти соответствующие \( n \).

1. \( n(n-1) = 1 \) → нет натуральных \( n \).
2. \( n(n-1) = 2 \) → \( n = 2 \) (10 матчей).
3. \( n(n-1) = 4 \) → \( n = 3 \) (k = 37.33; не натуральное).
4. \( n(n-1) = 7 \) → нет натуральных \( n \).
5. \( n(n-1) = 8 \) → \( n = 4 \) (k = 14).
6. \( n(n-1) = 14 \) → \( n = 5 \) (k = 8).
7. \( n(n-1) = 16 \) → \( n = 6 \) (k = 7).
8. \( n(n-1) = 28 \) → \( n = 8 \) (k = 4).
9. \( n(n-1) = 56 \) → \( n = 8 \) (k = 4).
10. \( n(n-1) = 64 \) → круглое число, нет решения.
11. \( n(n-1) = 112 \) → \( n = 12 \) (k = 1).
12. \( n(n-1) = 224 \) → большое число, нет решения.
13. \( n(n-1) = 448 \) → двои́ное число, нет решения.

Итак, возможные значения \( n \):

• \( n = 2 \) (k = 112)
• \( n = 4 \) (k = 14)
• \( n = 5 \) (k = 8)
• \( n = 6 \) (k = 7)
• \( n = 8 \) (k = 4)
• \( n = 12 \) (k = 1)

Таким образом, теннисисты, участвовавшие в турнире, это \( n = 2, 4, 5, 6, 8, 12 \).