Дан треугольник с вершинами а(-2;-4;0) б(-2;-1;4) с(-2;3;1). вычислите периметр треугольника и внутренний угол при вершине а

Чтобы найти периметр треугольника с вершинами A(-2, -4, 0), B(-2, -1, 4) и C(-2, 3, 1), сначала нужно вычислить длины его сторон. Длину стороны можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в 3D-пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

1. Найдем длину стороны AB:

   \( A(-2, -4, 0) \) и \( B(-2, -1, 4) \):

   \[ AB = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{0 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

2. Найдем длину стороны AC:

   \( A(-2, -4, 0) \) и \( C(-2, 3, 1) \):

   \[ AC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3 - (-4))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

3. Найдем длину стороны BC:

   \( B(-2, -1, 4) \) и \( C(-2, 3, 1) \):

   \[ BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{0 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь, имея длины всех сторон, можно найти периметр треугольника:

\[ P = AB + AC + BC = 5 + 5\sqrt{2} + 5 \] \[ P = 10 + 5\sqrt{2} \]

Теперь перейдем к вычислению угла при вершине A. Для этого можно использовать косинус угла, используя формулу:

\[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

где \( a = BC \), \( b = AC \) и \( c = AB \). Подставим значения:

• \( a = 5 \)
• \( b = 5\sqrt{2} \)
• \( c = 5 \)

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos(A) = \frac{(5)^2 + (5\sqrt{2})^2 - (5)^2}{2 \cdot 5 \cdot 5\sqrt{2}} \] \[ = \frac{25 + 50 - 25}{50\sqrt{2}} \] \[ = \frac{50}{50\sqrt{2}} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь найдем угол A:

\[ A = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \]

Таким образом, мы нашли периметр треугольника:

\[ P = 10 + 5\sqrt{2} \]

и внутренний угол при вершине A:

\[ A = 45^\circ \]