а) Реши уравнение 1+√3 tgx /1- 2 sinx = 0. 6) Найди корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: [21π/ 2 ; 12π]
Давайте шаг за шагом решим уравнение \( \frac{1 + \sqrt{3} \tan x}{1 - 2 \sin x} = 0 \).
Условие равенства нулю: Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, мы можем рассмотреть только числитель:
\[ 1 + \sqrt{3} \tan x = 0 \]
Решение для тангенса: Из этого уравнения получаем:
\[ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]
Значение \( \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) соответствует углам, где тангенс принимает такое значение. Обычно это \( x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \), где \( k \) — любое целое число.
Основные углы: Поскольку мы работаем с радианами, основные углы, где тангенс равен \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\):
- \( x = -\frac{\pi}{6} \) (в первом квадранте)
- \( x = \frac{5\pi}{6} \) (второй квадрант)
Общее решение: Мы можем выразить общее решение для \( x \):
\[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \]
Поиск корней на заданном отрезке: Теперь найдем корни на отрезке \(\left[\frac{21\pi}{2}; 12\pi\right]\).
– Для первого выражения:
\[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \] Перепишем его: \[ x = k\pi - \frac{\pi}{6} \] Теперь найдём зависимость \( k \) так, чтобы \( k\pi - \frac{\pi}{6} \in \left[\frac{21\pi}{2}; 12\pi\right] \).
Для \( k = 11 \): \[ x = 11\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{66\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{65\pi}{6} = 10.8333\pi \] (это включается, так как \( \frac{21\pi}{2} = 10.5\pi < \frac{65\pi}{6} < 12\pi\)).
Для \( k = 12 \): \[ x = 12\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{72\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{71\pi}{6} \] (это также включается, так как \( \frac{71\pi}{6} < 12\pi \)).
Проверяя значения \( k = 10 \): \[ x = 10\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{60\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{59\pi}{6} \] (это выше \( \frac{21\pi}{2} = 10.5\pi \) и тоже подходит).
Теперь смотрим на второй случай: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \] \[ \frac{5\pi}{6} + k\pi \in \left[\frac{21\pi}{2}; 12\pi\right] \] Это уравнение даёт те же значения для \( k \), которые мы только что нашли.
Таким образом, все найденные корни уравнения в заданном отрезке:
- \( \frac{59\pi}{6} \)
- \( \frac{65\pi}{6} \)
- \( \frac{71\pi}{6} \)
Итак, корни данного уравнения на отрезке \(\left[\frac{21\pi}{2}; 12\pi\right]\): \[ x = \frac{59\pi}{6}, \; x = \frac{65\pi}{6}, \; x = \frac{71\pi}{6} \]
