Определи количество решений системы уравнений: { ( x + 4 ) 2 + y 2 = 36 y = 4 x − 12 { (x+4) 2 +y 2 =36 y=4x−12
Для определения количества решений данной системы уравнений, сначала проанализируем каждое из уравнений.
Первое уравнение \((x + 4)^2 + y^2 = 36\) представляет собой уравнение окружности с центром в точке \((-4, 0)\) и радиусом 6. Это значит, что все точки \((x, y)\), которые удовлетворяют этому уравнению, будут находиться в пределах этой окружности.
Второе уравнение \(y = 4x - 12\) является уравнением прямой, наклон которой равен 4 и которое пересекает ось y в точке \((0, -12)\).
Теперь нужно найти точки пересечения этих двух геометрических фигур: окружности и прямой. Для этого подставим выражение для \(y\) из второго уравнения в первое уравнение:
\[ (x + 4)^2 + (4x - 12)^2 = 36 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \]
\[ (4x - 12)^2 = 16x^2 - 96x + 144 \]
Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:
\[ x^2 + 8x + 16 + 16x^2 - 96x + 144 = 36 \]
Сложим подобные члены:
\[ 17x^2 - 88x + 160 = 36 \]
Теперь упростим уравнение:
\[ 17x^2 - 88x + 124 = 0 \]
Чтобы найти количество решений этого квадратного уравнения, найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-88)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 124 \] \[ D = 7744 - 8408 = -664 \]
Поскольку дискриминант меньше нуля, это означает, что у данного квадратного уравнения нет действительных решений. Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: система уравнений не имеет решений.
