Реши систему уравнений в целых числах:  { x 2 − 13 = 4 y 2 8 y − 17 = x { x 2 −13=4y 2 8y−17=x ​

Для решения системы уравнений в целых числах:

1. \( x^2 - 13 = 4y^2 \)
2. \( 8y - 17 = x \)

Начнем с подстановки второго уравнения во второе. Из первого уравнения выразим \( x \):

\[ x = 8y - 17 \]

Теперь подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\[ (8y - 17)^2 - 13 = 4y^2 \]

Раскроем квадрат:

\[ 64y^2 - 272y + 289 - 13 = 4y^2 \]

Упростим уравнение:

\[ 64y^2 - 272y + 276 = 4y^2 \]

Переносим \( 4y^2 \) влево:

\[ 64y^2 - 4y^2 - 272y + 276 = 0 \] \[ 60y^2 - 272y + 276 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-272)^2 - 4 \cdot 60 \cdot 276 \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 73984 - 66240 = 7744 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{272 \pm \sqrt{7744}}{2 \cdot 60} \]

Рассчитываем корень квадратный:

\[ \sqrt{7744} = 88 \]

Теперь подставим обратно в формулу:

\[ y = \frac{272 \pm 88}{120} \]

Получаем два значения для \( y \):

\[ y_1 = \frac{360}{120} = 3, \quad y_2 = \frac{184}{120} = \frac{46}{30} = \frac{23}{15} \]

Так как мы ищем целые решения, мы берем только \( y_1 = 3 \).

Теперь подставим значение \( y = 3 \) во второе уравнение, чтобы найти \( x \):

\[ x = 8 \cdot 3 - 17 = 24 - 17 = 7 \]

Таким образом, одно из целых решений системы:

\[ (x, y) = (7, 3) \]

Теперь можем проверить, удовлетворяет ли эта пара обоим уравнениям:

1. \( 7^2 - 13 = 49 - 13 = 36 \) и \( 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \) — верно.
2. \( 8 \cdot 3 - 17 = 24 - 17 = 7 \) — верно.

Таким образом, единственное целое решение системы уравнений: \((x, y) = (7, 3)\).