В прямоугольнике с вершинами А (-4; -4), В(-4;6), С (8; 6), D (8; —4) выбрали случайную точку Х (х; у). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами у { хиу ≥ 1

Для решения этой задачи сначала определим площадь прямоугольника и область, заданную неравенством, а затем найдем вероятность того, что произвольная точка Х (x; y) будет удовлетворять этому неравенству.

1. Определение координат вершин и площадь прямоугольника: Вершины прямоугольника:

   • A (-4; -4)
   • B (-4; 6)
   • C (8; 6)
   • D (8; -4)

   Вычислим длины сторон:

   • Длина AB = 6 - (-4) = 10
   • Длина AD = 8 - (-4) = 12

   Площадь прямоугольника S: \[ S = AB \times AD = 10 \times 12 = 120 \]

2. Определение области, заданной неравенством xy ≥ 1: Чтобы исследовать неравенство xy ≥ 1, можем заметить, что оно описывает область, находящуюся выше гиперболы, заданной уравнением xy = 1.

   Точки, которые будут являться границей этой области, можно найти, например, подставляя разные значения x:

   • Если x = 1, то y = 1
   • Если x = -1, то y = -1
   • Если x = 2, то y = 0.5
   • Если x = 0.5, то y = 2

   Таким образом, график xy = 1 будет выглядеть как гипербола, и мы интересуемся теми областью, которая находится вверх и вправо от этой гиперболы.

3. Определение пересечения с прямоугольником: Нам нужно определить, какую часть площади прямоугольника соответствует неравенству xy ≥ 1.

   Для этого находим точки пересечения гиперболы с границами прямоугольника:

   • На верхней границе (y = 6): xy = 1 → x \cdot 6 = 1 → x = 1/6
   • На нижней границе (y = -4): xy = 1 → x \cdot (-4) = 1 → x = -1/4

   Мы также можем найти пересечение с правой (x = 8) и левой (x = -4) границами:

   • На правой границе (x = 8): y = 1/8
   • На левой границе (x = -4): y = -1/4 (но это не подходит, так как y должен быть положительным)

   Таким образом, на границах прямоугольника область, удовлетворяющая неравенству, будет находиться в пределах:

   • x от 1/6 до 8
   • y от 1 до 6.

   Это дает нам плоскость, которая будет ограничена этими значениями.

4. Вычисление площади области, удовлетворяющей неравенству: Найдем площадь этой части: Площадь ограничена следующим образом:

   • По оси x: от 1/6 до 8
   • По оси y: от 1 до 6

   Поскольку в данной области y > 1 (с учетом верхней границы), то нам нужно брать интеграл для поднятия y от 1 до 6 и соответствующего x (уже найденного) от 1/6 до 8.

5. Вероятность: Вероятность - это отношение площади области, которая соответствует неравенству, к площади всего прямоугольника.

   Обозначим S_непривычное как площадь области, удовлетворяющей xy ≥ 1: \[ P = \frac{S_{непривычное}}{S_{прямоугольника}} = \frac{(8 - 1/6) \cdot (6 - 1)}{120} \] Вычислим все необходимые значения и подставим.

Завершив вычисления, можно получить конкретное числовое значение для вероятности, удовлетворяющей данному неравенству.