Решите графически систему уравнения x²+y²=16 x+y+3=0

Чтобы решить графически систему уравнений:

1. \( x^2 + y^2 = 16 \)
2. \( x + y + 3 = 0 \)

начнем с анализа каждого уравнения.

Первое уравнение: \( x^2 + y^2 = 16 \)

Это уравнение окружности с центром в точке \( (0, 0) \) и радиусом \( 4 \) (поскольку \( \sqrt{16} = 4 \)). Мы можем нарисовать эту окружность на координатной плоскости.

Второе уравнение: \( x + y + 3 = 0 \)

Преобразуем это уравнение в более удобный вид: \[ y = -x - 3 \]

Это уравнение представляет собой прямую, которая имеет отрицательный наклон и пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -3) \) и ось \( x \) в точке \( (-3, 0) \).

Графическое решение

1. Нарисуйте окружность: Рисуем окружность радиуса 4, расположенную в центре координат \( (0, 0) \).
2. Нарисуйте прямую: Рисуем прямую \( y = -x - 3 \). Она проходит через точки \( (0, -3) \) и \( (-3, 0) \).

Нахождение точек пересечения

Теперь нужно найти точки пересечения графиков этих двух уравнений. Для этого можно подставить выражение для \( y \) из второго уравнения в первое:

\[ x^2 + (-x - 3)^2 = 16 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 16 \]
\[ 2x^2 + 6x + 9 = 16 \]
\[ 2x^2 + 6x - 7 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Применим формулу для нахождения корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 2 \), \( b = 6 \), \( c = -7 \).

Подставим значения:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 56}}{4} \]
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{92}}{4} \]
\[ x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{23}}{4} \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{23}}{2} \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для этих \( x \):

1. При \( x = \frac{-3 + \sqrt{23}}{2} \): \[ y = -\left(\frac{-3 + \sqrt{23}}{2}\right) - 3 = \frac{3 - \sqrt{23}}{2} - 3 = \frac{3 - \sqrt{23} - 6}{2} = \frac{-\sqrt{23} - 3}{2} \]

2. При \( x = \frac{-3 - \sqrt{23}}{2} \): \[ y = -\left(\frac{-3 - \sqrt{23}}{2}\right) - 3 = \frac{3 + \sqrt{23}}{2} - 3 = \frac{3 + \sqrt{23} - 6}{2} = \frac{\sqrt{23} - 3}{2} \]

Результат

Таким образом, точки пересечения окружности и прямой (решение системы уравнений) имеют координаты:

1. \( \left( \frac{-3 + \sqrt{23}}{2}, \frac{-\sqrt{23} - 3}{2} \right) \)
2. \( \left( \frac{-3 - \sqrt{23}}{2}, \frac{\sqrt{23} - 3}{2} \right) \)

Можно лишь косвенно отметить, что эти точки лежат на графиках заданных уравнений.