5/х^2-4+2х/х+2=2
Для решения уравнения \( \frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2 \) давайте последовательно выполним следующие шаги:
Упростим уравнение. Начнем с приведения обеих частей уравнения к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 4 \) можно разложить на множители: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
Запишем уравнение с общим знаменателем: Общий знаменатель для обеих дробей будет \( (x - 2)(x + 2) \). Теперь перепишем дроби: \[ \frac{5}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 2 \]
Объединим дроби: \[ \frac{5 + 2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 2 \]
Вычислим числитель: \[ 2x(x - 2) = 2x^2 - 4x, \quad \text{поэтому} \quad 5 + 2x^2 - 4x = 2x^2 - 4x + 5 \]
Перепишем уравнение: Теперь наш шаг становится: \[ \frac{2x^2 - 4x + 5}{(x - 2)(x + 2)} = 2 \]
Умножим обе стороны на \( (x - 2)(x + 2) \): \[ 2x^2 - 4x + 5 = 2(x - 2)(x + 2) \]
Упростим правую часть: Правая часть: \( 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8 \).
Теперь получаем уравнение: \[ 2x^2 - 4x + 5 = 2x^2 - 8 \]
Затем упростим уравнение: Выразим слагаемые: \[ -4x + 5 = -8 \] Переносим \(-8\) в левую часть: \[ -4x + 5 + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x + 13 = 0 \]
Решим для \( x \): \[ -4x = -13 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{13}{4} \]
Проверим, подходит ли решение: Нужно проверить, не равен ли \( x \) значениям, которые делают определение дробей невозможным. Здесь \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \) (так как они приводят к нулю в знаменателе).
Таким образом, \( x = \frac{13}{4} \) является допустимым решением.
Ответ: \( x = \frac{13}{4} \).
