Используя признаки делимости, докажите, что дробь можно сократить, и выполните сокращение: 2808 1665 3456
Для того чтобы доказать, что дробь \( \frac{2808}{3456} \) можно сократить, мы можем использовать признаки делимости и найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 2808 и 3456.
Находим НОД чисел 2808 и 3456.
Начнем с разложения каждого числа на простые множители.
2808:
- Делим на 2: \( 2808 \div 2 = 1404 \)
- Делим на 2: \( 1404 \div 2 = 702 \)
- Делим на 2: \( 702 \div 2 = 351 \)
- Делим на 3: \( 351 \div 3 = 117 \)
- Делим на 3: \( 117 \div 3 = 39 \)
- Делим на 3: \( 39 \div 3 = 13 \)
- 13 — простое число.
Таким образом, разложение на множители: \[ 2808 = 2^3 \times 3^3 \times 13 \]
3456:
- Делим на 2: \( 3456 \div 2 = 1728 \)
- Делим на 2: \( 1728 \div 2 = 864 \)
- Делим на 2: \( 864 \div 2 = 432 \)
- Делим на 2: \( 432 \div 2 = 216 \)
- Делим на 2: \( 216 \div 2 = 108 \)
- Делим на 2: \( 108 \div 2 = 54 \)
- Делим на 2: \( 54 \div 2 = 27 \)
- Делим на 3: \( 27 \div 3 = 9 \)
- Делим на 3: \( 9 \div 3 = 3 \)
- Делим на 3: \( 3 \div 3 = 1 \)
Таким образом, разложение на множители: \[ 3456 = 2^7 \times 3^3 \]
Находим НОД.
Теперь находим НОД, используя минимальные степени простых множителей:
- Для 2: минимальная степень — \( 2^3 \)
- Для 3: минимальная степень — \( 3^3 \)
- Число 13 присутствует только в разложении 2808.
Таким образом, \[ НОД(2808, 3456) = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216 \]
Скорректируем дробь.
Теперь мы можем сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД: \[ \frac{2808 \div 216}{3456 \div 216} = \frac{13}{16} \]
Таким образом, дробь \( \frac{2808}{3456} \) можно сократить до \( \frac{13}{16} \). Это подтверждает, что дробь действительно успешно сокращается.
