Двузначное число 10а + в в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2, 25 раза больше самого числа. Найди это число.
Решим задачу шаг за шагом.
Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) – десятки, а \( b \) – единицы.
Первое уравнение: Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр. Сумма цифр будет равна \( a + b \). Это можно записать как: \[ 10a + b = 4(a + b) \] Раскроем скобки: \[ 10a + b = 4a + 4b \] Переносим все слагаемые с \( a \) и \( b \) в одну сторону: \[ 10a + b - 4a - 4b = 0 \] Упрощаем: \[ 6a - 3b = 0 \] или \[ 2a = b \quad \text{(1)} \]
Второе уравнение: Квадрат суммы цифр в 2,25 раза больше самого числа. Сумма цифр так же равна \( a + b \). Тогда это записывается как: \[ (a + b)^2 = 2.25(10a + b) \] Раскроем квадрат: \[ a^2 + 2ab + b^2 = 22.5a + 2.25b \] Теперь перенесем все в одну сторону: \[ a^2 + 2ab + b^2 - 22.5a - 2.25b = 0 \quad \text{(2)} \]
Подставим (1) во (2): Заменим \( b \) на \( 2a \): \[ a^2 + 2a(2a) + (2a)^2 - 22.5a - 2.25(2a) = 0 \] Упрощаем: \[ a^2 + 4a^2 + 4a^2 - 22.5a - 4.5a = 0 \] Это дает: \[ 9a^2 - 27a = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 9a(a - 3) = 0 \] Таким образом, \( a = 0 \) или \( a = 3 \). Поскольку \( a \) – это цифра десятков, берем \( a = 3 \).
Находим \( b \): Подставим \( a = 3 \) в (1): \[ b = 2a = 2 \times 3 = 6 \]
Получаем двузначное число: Составим число: \[ 10a + b = 10 \times 3 + 6 = 30 + 6 = 36 \]
Таким образом, искомое двузначное число – 36.
Проверим условия:
- Сумма цифр \( 3 + 6 = 9 \). Двузначное число \( 36 \) действительно в 4 раза больше суммы своих цифр \( 9 \): \( 4 \times 9 = 36 \).
- Квадрат суммы цифр \( 9^2 = 81 \). Действительно, \( 2.25 \times 36 = 81 \).
Итак, ответ: 36.
