Даны координаты вершин треугольника CKA, где C=(7;-3), K=(-5;-3), A=(-5;4). Докажите, что треугольник прямоугольный, найдите длину медианы KM, проведенной из вершины K.

Чтобы доказать, что треугольник CKA прямоугольный, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого сначала найдем длины сторон треугольника CKA, используя формулу расстояния между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Найдем длины всех сторон треугольника:

1. Длина стороны CK: \[ CK = \sqrt{((-5) - 7)^2 + ((-3) - (-3))^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12 \]

2. Длина стороны KA: \[ KA = \sqrt{((-5) - (-5))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + (7)^2} = \sqrt{49} = 7 \]

3. Длина стороны CA: \[ CA = \sqrt{((-5) - 7)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (7)^2} = \sqrt{144 + 49} = \sqrt{193} \]

Теперь у нас есть длины сторон: CK = 12, KA = 7, CA = \(\sqrt{193}\).

Для проверки прямоугольности треугольника CKA, необходимо проверить соотношение сторон по теореме Пифагора, где квадрат самой длинной стороны (CK) должен быть равен сумме квадратов других двух сторон (KA и CA):

\[ CK^2 = KA^2 + CA^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 12^2 = 7^2 + (\sqrt{193})^2 \\ 144 = 49 + 193 \\ 144 = 242 \]

Это не выполняется, значит, треугольник CKA не является прямоугольным. Но давайте проверим остальные стороны. Вычислим другие возможные комбинации:

Проверим, верно ли, что CA — самая длинная и соотношение;

\[ CA^2 = CK^2 + KA^2 \\ 193 = 144 + 49 \\ 193 = 193 \]

Соотношение выполняется, значит, треугольник CKA является прямоугольным, и угол C - прямой.

Теперь найдем длину медианы KM, проведенной из вершины K. Для этого найдем координаты середины отрезка CA. Середина отрезка (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычисляется по формуле:

\[ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Подставим координаты точек C и A:

\[ M_x = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1\\ M_y = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Таким образом, координаты точки M: \(M(1; 0.5)\).

Теперь найдем длину медианы KM с использованием формулы расстояния:

\[ KM = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (0.5 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 5)^2 + (0.5 + 3)^2} = \sqrt{6^2 + 3.5^2} = \sqrt{36 + 12.25} = \sqrt{48.25} \]

Упрощая, получаем:

\[ KM = \sqrt{48.25} \approx 6.95 \]

Итак, длина медианы KM составляет примерно 6.95.