Квадрат двузначного числа 10а + 6 в 144 раза превышает сумму его цифр. Определи это число, если известно, что значение а вдвое больше значения b.
Обозначим двузначное число как \(10a + b\), где \(a\) и \(b\) — цифры числа. По условию задачи известно, что квадрат числа \(10a + 6\) в 144 раза превышает сумму его цифр.
Сначала найдем сумму цифр: \[ S = a + b. \]
Теперь выразим условие задачи: \[ (10a + 6)^2 = 144(a + b). \]
Подставим \(b\) через \(a\): поскольку \(a\) вдвое больше \(b\), получаем \(a = 2b\). Значит, \[ b = \frac{a}{2}. \]
Поскольку \(a\) — это цифра, он может принимать значения от 0 до 9, следовательно, \(b\) может принимать значения от 0 до 4. Таким образом, \(a\) может быть равен 2, 4, 6, или 8 (только четные цифры).
Теперь подставим \(b = \frac{a}{2}\) в выражение для суммы: \[ a + b = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}. \]
Подставим это значение в уравнение: \[ (10a + 6)^2 = 144 \cdot \frac{3a}{2}. \]
Упрощаем уравнение: \[ (10a + 6)^2 = 216a. \]
Раскроем квадрат: \[ 100a^2 + 120a + 36 = 216a. \]
Переносим все в одну сторону: \[ 100a^2 + 120a + 36 - 216a = 0, \] \[ 100a^2 - 96a + 36 = 0. \]
Упрощаем уравнение: \[ 25a^2 - 24a + 9 = 0. \]
Применяем дискриминант: \[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 576 - 900 = -324. \] Дискриминант отрицательный, значит действительных корней нет для \(a\) в диапазоне цифр.
Следовательно, необходимо проверить двузначные числа напрямую, удовлетворяющие условиям. Возможные двузначные числа с \(b = \frac{a}{2}\) — это:
- \(b = 0 \rightarrow 20\)
- \(b = 1 \rightarrow 12\)
- \(b = 2 \rightarrow 24\)
- \(b = 3 \rightarrow 36\)
- \(b = 4 \rightarrow 48\)
Проверяем \(36\):
Сумма цифр \(3 + 6 = 9\).
Квадрат числа \(36^2 = 1296\).
Проверка: \(1296 = 144 \cdot 9\). Так что это число подходит.
Таким образом, двузначное число, удовлетворяющее всем условиям, есть \(36\).
