Реши систему уравнений, используя для удобства графический способ решения: { x2 + y2 = 169 { y = x2 − 13

Question 1

Задача Задача №2287166

А

Аноним

19 ноября 2024 16:11 · публичный вопрос

А

Аноним 19 ноября 2024 16:11

Реши систему уравнений, используя для удобства графический способ решения: { x2 + y2 = 169 { y = x2 − 13

Answer

Для решения системы уравнений графическим способом, давайте сначала рассмотрим каждое из уравнений отдельно:

Уравнение \( x^2 + y^2 = 169 \) описывает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 13, так как \( \sqrt{169} = 13 \).
Уравнение \( y = x^2 - 13 \) представляет собой параболу, открывающуюся вверх с вершиной в точке (0, -13).

Теперь, чтобы найти решения системы, нужно построить графики этих уравнений на одной координатной плоскости и определить точки их пересечения.

Шаг 1: Построение графика круга

Круг можно нарисовать, помня, что радиус равен 13. Он будет иметь вид:

При \( x = 0 \), \( y = 13 \) и \( y = -13 \) (точки на оси Y).
При \( y = 0 \), \( x = 13 \) и \( x = -13 \) (точки на оси X).

Шаг 2: Построение графика параболы

Для параболы \( y = x^2 - 13 \):

При \( x = 0 \), \( y = -13 \) (вершина параболы).
При \( x = 1 \), \( y = 1 - 13 = -12 \).
При \( x = -1 \), \( y = 1 - 13 = -12 \).

Вы можете также рассмотреть другие значения \( x \), чтобы получить больше точек и точнее изобразить параболу.

Шаг 3: Нахождение точек пересечения

После того, как графики будут построены, исследуйте, где круг и парабола пересекаются. Это можно сделать визуально на графике. Чтобы более точно получить координаты пересечения, можно также подставить одно уравнение в другое.

Подставим \( y = x^2 - 13 \) в первое уравнение:

\[ x^2 + (x^2 - 13)^2 = 169 \]

Распределите и упростите уравнение:

\[ x^2 + (x^4 - 26x^2 + 169) = 169 \] \[ x^4 - 25x^2 = 0 \]

Факторизуем:

\[ x^2(x^2 - 25) = 0 \]

Это дает два решения:

\( x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
\( x^2 - 25 = 0 \) → \( x = 5 \) и \( x = -5 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x = 0 \): \( y = 0^2 - 13 = -13 \) → точка (0, -13)
При \( x = 5 \): \( y = 5^2 - 13 = 25 - 13 = 12 \) → точка (5, 12)
При \( x = -5 \): \( y = (-5)^2 - 13 = 25 - 13 = 12 \) → точка (-5, 12)

Итоговые точки пересечения

Таким образом, система имеет три точки пересечения: \( (0, -13) \), \( (5, 12) \) и \( (-5, 12) \).

Если вам нужны дополнительные пояснения или помощь с графиками, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

Реши систему уравнений, используя для удобства графический способ решения: { x2 + y2 = 169 { y = x2 − 13

Answer

Для решения системы уравнений графическим способом, давайте сначала рассмотрим каждое из уравнений отдельно: 1. Уравнение \( x^2 + y^2 = 169 \) описывает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 13, так как \( \sqrt{169} = 13 \). 2. Уравнение \( y = x^2 - 13 \) представляет собой параболу, открывающуюся вверх с вершиной в точке (0, -13). Теперь, чтобы найти решения системы, нужно построить графики этих уравнений на одной координатной плоскости и определить точки их пересечения. ### Шаг 1: Построение графика круга Круг можно нарисовать, помня, что радиус равен 13. Он будет иметь вид: - При \( x = 0 \), \( y = 13 \) и \( y = -13 \) (точки на оси Y). - При \( y = 0 \), \( x = 13 \) и \( x = -13 \) (точки на оси X). ### Шаг 2: Построение графика параболы Для параболы \( y = x^2 - 13 \): - При \( x = 0 \), \( y = -13 \) (вершина параболы). - При \( x = 1 \), \( y = 1 - 13 = -12 \). - При \( x = -1 \), \( y = 1 - 13 = -12 \). Вы можете также рассмотреть другие значения \( x \), чтобы получить больше точек и точнее изобразить параболу. ### Шаг 3: Нахождение точек пересечения После того, как графики будут построены, исследуйте, где круг и парабола пересекаются. Это можно сделать визуально на графике. Чтобы более точно получить координаты пересечения, можно также подставить одно уравнение в другое. Подставим \( y = x^2 - 13 \) в первое уравнение: \[ x^2 + (x^2 - 13)^2 = 169 \] Распределите и упростите уравнение: \[ x^2 + (x^4 - 26x^2 + 169) = 169 \] \[ x^4 - 25x^2 = 0 \] Факторизуем: \[ x^2(x^2 - 25) = 0 \] Это дает два решения: 1. \( x^2 = 0 \) → \( x = 0 \) 2. \( x^2 - 25 = 0 \) → \( x = 5 \) и \( x = -5 \) Теперь найдем соответствующие значения \( y \): - При \( x = 0 \): \( y = 0^2 - 13 = -13 \) → точка (0, -13) - При \( x = 5 \): \( y = 5^2 - 13 = 25 - 13 = 12 \) → точка (5, 12) - При \( x = -5 \): \( y = (-5)^2 - 13 = 25 - 13 = 12 \) → точка (-5, 12) ### Итоговые точки пересечения Таким образом, система имеет три точки пересечения: \( (0, -13) \), \( (5, 12) \) и \( (-5, 12) \). Если вам нужны дополнительные пояснения или помощь с графиками, не стесняйтесь спрашивать!