Вычислить sin 2a, cos 2a, tg2a, если sin a=0,6 π/2 < a < π 2 cos π/8 sin 7π/8 tg 5π/12/ 1-tg² 5π/12
Давайте последовательно решим поставленные задачи.
Вычисление sin(2a), cos(2a), tg(2a), если sin(a) = 0,6 и π/2 < a < π.
Для начала, найдем cos(a). Используя основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \] Мы знаем, что \(\sin(a) = 0,6\), поэтому:
\[ 0,6^2 + \cos^2(a) = 1 \implies 0,36 + \cos^2(a) = 1 \implies \cos^2(a) = 1 - 0,36 = 0,64 \]
Отсюда:
\[ \cos(a) = -\sqrt{0,64} = -0,8 \]
(Мы берем отрицательное значение, так как угол a находится во втором квадранте, где косинус отрицателен.)
Теперь можем вычислить \( \sin(2a) \), \( \cos(2a) \) и \( \tan(2a) \):
\( \sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a) = 2 \cdot 0,6 \cdot (-0,8) = -0,96 \)
\( \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = (-0,8)^2 - (0,6)^2 = 0,64 - 0,36 = 0,28 \)
\( \tan(2a) = \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} = \frac{-0,96}{0,28} \approx -3,43 \)
Вычисление \( 2 \cos(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{7\pi}{8}) \)
Обратите внимание, что \(\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8}\)).
Значит:
\[ 2 \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Вычисление \( \frac{\tan\left(\frac{5\pi}{12}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{5\pi}{12}\right)} \)
Используем формулу для тангенса двойного угла:
\[ \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \]
Следовательно:
\[ \frac{\tan\left(\frac{5\pi}{12}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{5\pi}{12}\right)} = \frac{1}{2} \tan(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = \frac{1}{2} \tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) \]
Поскольку \( \tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\), получается:
\[ \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Таким образом, мы получили результаты для всех заданий. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь обращаться!
