Х^2 +у^2 =х+у, х^4 +у^4=1/2(х+у)^2 Решить систему уравнений" Кратко и с ответом

Для решения системы уравнений

1. \( x^2 + y^2 = x + y \)
2. \( x^4 + y^4 = \frac{1}{2}(x + y)^2 \),

начнем с первого уравнения.

Рассмотрим первое уравнение:

\[ x^2 - x + y^2 - y = 0. \]

Это уравнение можно переписать в виде:

\[ (x^2 - x) + (y^2 - y) = 0, \]

или

\[ x(x - 1) + y(y - 1) = 0. \]

Поскольку произведение равно нулю, одно из выражений должно быть равно нулю, что дает нам два случая:

1. \( x(x - 1) = 0 \) (т.е. \( x = 0 \) или \( x = 1 \))
2. \( y(y - 1) = 0 \) (т.е. \( y = 0 \) или \( y = 1 \))

Теперь рассмотрим оба случая.

Случай 1:

1. \( x = 0 \)
   Подставим \( x = 0 \) в первое уравнение:

   \[ 0 + y^2 = 0 + y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0 \implies y = 0 \text{ или } y = 1. \]

   Это дает решения: \( (0, 0) \) и \( (0, 1) \).

2. \( x = 1 \)
   Подставим \( x = 1 \) в первое уравнение:

   \[ 1 + y^2 = 1 + y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0 \implies y = 0 \text{ или } y = 1. \]

   Это дает решения: \( (1, 0) \) и \( (1, 1) \).

Теперь давайте проверим второе уравнение для найденных пар.

Проверка второго уравнения (i.e., \( x^4 + y^4 = \frac{1}{2}(x + y)^2 \)):

1. Для \( (0, 0) \):
   \[ 0^4 + 0^4 = 0 = \frac{1}{2}(0 + 0)^2 \implies 0 = 0 \quad \text{(правильно)}. \]

2. Для \( (0, 1) \):
   \[ 0^4 + 1^4 = 1 = \frac{1}{2}(0 + 1)^2 \implies 1 = \frac{1}{2} \quad \text{(неправильно)}. \]

3. Для \( (1, 0) \):
   \[ 1^4 + 0^4 = 1 = \frac{1}{2}(1 + 0)^2 \implies 1 = \frac{1}{2} \quad \text{(неправильно)}. \]

4. Для \( (1, 1) \):
   \[ 1^4 + 1^4 = 2 = \frac{1}{2}(1 + 1)^2 \implies 2 = 2 \quad \text{(правильно)}. \]

Таким образом, подходящие решения для данной системы уравнений:

• \( (0, 0) \)
• \( (1, 1) \)

Ответ: \( (0, 0) \) и \( (1, 1) \).